- ベストアンサー
定積分と級数について
- みんなの回答 （1）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
受験用の数学すっかりわすれてまして、問題を正攻法で解こうとして、級数和がかなり高度になったところで「こんな計算高校数学で出来るんだろうか？」と疑問に思いました。そこで昔の記憶がよみがえって来ました。高校数学で和を積分に直す問題ってありましたね。 つまり Σ_{k=1⇒n} f(k/n) のタイプの和はkが１からｎまで行きますが、nを大ききするとこれはｆの中の変数が連続的に変わると思ってもいいですね。 実数部分と虚数部分をとる操作はあまり本質じゃないので、簡単な例を解いておきますから参考にして問題を自分で解いてください。 Σ_{k=1⇒n}1/(n+k) =Σ _{k=1⇒n}(1/n)1/(1+k/n) =Σ _{x=0⇒1}Δx 1/(1+x) =∫dx 1/(1+x)=log(1+x)|_{0⇒1} 二行目では1/nをくくり出しました。 三行目ではk/n=xと置きました、そしてxの和の刻み幅は1/nなので Δx=1/nとしました。(例えばk=10と11の場合xは 10/nと11/nと変わりますからΔx=11/n-10/n=1/n）最後は刻み幅Δx=dxとして積分にします。 因みに答えは実部π/4の間違いではないでしょうか？ 分母を実数かして、実部と虚部はわけて考えるとよいでしょう。
関連するQ&A
- この極限は一体?
an=(1・3・5・7・9…(2n-1))/(2・4・6・8・10…2n)とする。 liman(n→∞)とlimΣan(n=1→∞)を求めよって問題です。 liman(n→∞)は、an=(1-1/2)(1-1/4)(1-1/6)…((2n-1)/2n)と表せるので、 (1/2+α)^n<an<β^nとおける。(0<α<1/2、α+1/2<β<1) はさみうちの原理よりliman(n→∞)=0 困っているのはlimΣan(n=1→∞)のほうです。 どうやら無限大になるようですが証明できません。 第n項までの和はΣan=(1/2{2-(1/4{2-(1/6{2-(1/8{・・・{2-(1/2n)})とかけるのですがここからどうしたらいいか… 色々やっているうちにbn+1=2(n+1)bn+1・3・5・・・(2n+1)というあまり意味のない漸化式が出てきたり…(ちなみにbnはΣanの分子です。) f(n)<Σanとなるような無限大に発散するf(n)を見つければ解決するんでしょうか?誰か教えてくださいm(__)m
- ベストアンサー
- 数学・算数
- フーリエ級数の求め方
下図の関数のフーリエ級数を求めよ。 間違っている所、考え方を教えて下さい。よろしくお願いします。 ＜解いたやり方＞ 奇関数よりC0 = 0, Bn = 0 An = 1 *∫(0→1) (2x * sin (nπx/2)) dx + 1 * ∫(０→1) (2 * sin(nπx/2)) dx とおいてときました。 正しい解答はΣ(n=1→∞)(((8/n^2*π^2)sin(nπ/2)-(4*(-1)^n/nπ))sin(nπx/2) となります。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- フーリエ級数
大学からの課題なのですが、数学はあまり得意出ない上、高校で勉強した内容よりもレベルが上の難易度のようで、 色々と頑張っては見たのですが現在の自分の力だけではどうにも解く事が出来ないので、よかったらお教えください。 関数f(x)はxの全ての実数値に対し定義されていて、2πを周期に持つとする。 すなわち、f(ｘ + 2π)=f(x),さらに,積分 ∫-π＾π｜f(x)｜dxが存在するとする。このとき、関数ｆ(x)は 以下のように展開できる。 f(x)＝a0/2+Σ[n=1,∞](an cos nx + bn sin nx) (1) ここで、係数an,bn次式で計算される。 an=1/π∫-π＾π ｆ(x)cos nx dx （n=0,1,2,....）, (2) bn=1/π∫-π＾π ｆ(x)sin nx dx （n=1,2,....）, (3) さて特に、ｆ(x)＝｛ -1 （-π≦ｘ＜0,π＝π） +1 （0≦ｘ＜π） ｝ (4) の場合を考える。このとき以下の問に答えよ。 【1】an=0(n=0,1,2,....)であることを示せ。 【2】bnが次式で与えられることを示せ。 bn＝{ 0 （n=2,4,...） 4/nπ （n=1,3,5,...） } 【3】 【1】式の無限級数の和を、n=5までの和で近似せよ。 すなわち、 f(x)= a0/2 + Σ[n=1,5](an cos nx + bn sin nx)=4/πΣ[n=1,3,5]sin nx/n (5)
- 締切済み
- 数学・算数
- 数列の極限の証明
「a1=a,b1=b,(a＞b＞0) a(n＋1)=(an＋bn)/2 b（n＋1）=anbn^1/2 で定まる二つの数列｛an｝,{bn}は同じ極限値を持つことを示せ。」 という問題を解いていて、このリンクの証明を見たのですが、 http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1463528674 証明の最後で、a_n+1=ka_n を満たす1より小さい正の実数kが存在することから、 a_n=k^(n-1)*a1 として、n→∞でa_n→0としていましたが、 a_n=f(n)として、f(x)が単調減少関数でf(n+1)=k_n(fn) (k_nはnによって変化する1より小さいある正の定数)となっても、 k_nはnに依存するので、必ずしもx（またはn)→∞でf(x)(またはf(n))→0になるとは限らないのではないのでしょうか。（ex. k_n→1 (n→∞), f(x)=(1/x)+(1/2)) その可能性はないのでしょうか？ 以下がリンク先の証明の全文です。 与えられた漸化式と0＜a＜bより帰納的に0＜an,0＜bnとなる。 すると相加・相乗平均の関係より a(n+1)/b(n+1)=(an+bn)/2√(anbn) =(1/2){√(an/bn)+√(bn/an)}≧(1/2)*2*√(an/bn)*√(bn/an) =1 ∴b(n+1)≦a(n+1)となる。 ここで等号が成り立つとすると bn=anより a(n+1)=(1/2)(an+bn)=(1/2)*2an=an となり an=a(n-1)=…=a1=a=b1=b となりa＜bに矛盾する。 よって等号は成立しないので b(n+1)＜a(n+1) となり、したがって bn＜an…(*) となる。 すると an+bn＜2anより a(n+1)=(1/2)(an+bn)＜(1/2)*2an=an となる。 したがって0＜anより a(n+1)=k*an を満たす1より小さい正の実数kが存在する。 すると an=k*a(n-1)=k^2*a(n-2)=…=k^(n-1)*a1=k^(n-1)*a となるから lim[n→∞]an=a*lim[n→∞]k^(n-1)=0…(**) となる。 すると(*)と0＜bnより 0＜bn＜an だから(**)からはさみうちの原理により lim[n→∞]bn=0 となる。 よって lim[n→∞]an=lim[n→∞]bn=0 となる。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数IIIの数列の極限の問題
数列｛an｝に対してlim（an＋５/2an＋１）＝３であるとき limanをもとめよ ｎ→∞ 解説にｂｎ＝an＋５/2an＋１とおいて とかいていますが そこからan(2bn－1)=5-bn ↓ an＋５/2an＋１=｛1/2(２an＋１）＋9/2｝/2an＋１ －－－(1) (1)の変換がよくわかりません
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
素早い回答有り難う御座いました。 三行目のところはn/k=x にならないのは・・・なぜでしょう・・・(´・ω・`;)