Fourier変換、Taylor展開、ベクトル解析の日常への応用

質問

• Fourier変換、Taylor展開、ベクトル解析の応用方法とは？
• 数学の魅力を活かした日常生活での応用例をご紹介します。
• さらに数学検定の挑戦もおすすめです。

回答No.1

sanori

あー
こういう質問の回答は得意ですよ。（笑）

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フーリエ変換は、周期的な（周期的でなくてもいいですけど）電気信号や音の解析に非常に役立ちます。
音楽関係だと、グラフィックイコライザがやってることとか特定周波数だけ抽出するとかは、フーリエ変換と同じようなことですから。

正弦波の音源同士を組み合わせて（足し算して）人工的に音を作るのにも使いますね。
今だとあんまり使ってる人はいないかもしれませんが、アナログシンセサイザーは、まさに、それですね。冨田勲さんも、それでやってました。

単純な例では、方形波を正弦波同士の足し算で発生させることも可能です。

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次に、テイラー展開ですか。
これは（せこい例ですけど）暗算に役立ってます。
一昨日（？）の「世界一受けたい授業」で、家庭用スポンジの原材となる、どデカいスポンジの塊（直方体）が出てきました。
それが千個単位の数に切り取られて、家庭用スポンジになるらしいんですよ。
塊の形がスポンジ１個の形と大体相似だったので、そこで、うちの子供と
「１辺を何等分すれば、その個数になるかな？」
という話題になりました。
（具体的な数字は忘れましたが）仮に、１６００個に分けるとしましょう。
すると、テイラー展開で第３項（２乗の項）以降が無視できると考えれば、
１６００＾(1/3) ＝ １０ × （１＋０．６）^(1/3)
　≒　１０ × （１＋ 0.6/３）
　＝　ざっくり１２
つまり、１辺を１２等分すれば、１６００個ぐらいできるということが、暗算で求められます。

ウィスキーのシングルとダブルを測る道具（２つの円錐が２個つながった形状の容器）で、見た目、２つの円錐の大きさがほとんど違って見えないのは、
（かなり荒っぽい計算ですけど）
２^1/3 ≒ １ ＋ １／３ ≒　ざっくり１．３
つまり、円錐の高さが１．３倍しか違わないからだと、すぐ理解できます。

つまり、一次近似っていうやつですね。
一次で足りないと思えば、二次か三次ぐらいまで計算に入れればよいでしょう。

誤差論でも使いますね。
ε＜＜１のとき
（１＋ε）の逆数 ≒ １－ε　なので、
２つの測定データ　Ａ±３％、Ｂ±７％
から、「Ａ÷Ｂ」という割り算の答えの誤差を求めるとき、
（１±0.03）Ａ÷（１±0.07）Ｂ ≒ Ａ÷Ｂ×（１±0.10）
つまり、Ａ÷Ｂの誤差は１０％です。
（要は、掛け算割り算したときは、誤差同士を単純に加算すればよい）

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最後に、ベクトル解析ですが、
古典電磁気学の全てがマクスウェルの４つの方程式だけで表されることを頭に入れておけば、中学高校で習った電気の法則が一体なんだったのかを本質的に理解できますね。∇（ナブラ）との内積・外積の考え方を一度知ってしまえば、高校で習った物理の式より、かえって分かりやすいかも。
下記にも、私、回答してます。ご参考に。
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=2096774

お礼

詳しい解説、誠にありがとうございました。しかし、私は異常な数学、
物理オンチなのです。質問があまりに背伸びをしすぎていたのでしょうか。
（高校は化学と生物のみ履修していました）
折角のご回答がTaylor展開以外、まるで理解できませんでした。

昔、第三種冷凍機械の資格に挑戦しましたが、全く理解出来ません
でした。（中学卒業レベルだそうです）。大学時、熱力学の試験は
がむしゃらに頑張って優を取りましたが、まるで応用が効いて
いませんね。

「ボイル・シャルルの法則が理解出来、熱力学が理解できるのに何故
冷凍機械が解らないの？中卒レベルだよ？」と笑われた事が有ります。

「Fourier変換は微分方程式に応用可能。」ここまでは理解できるの
ですが、この先が解りません。例えば「いかにして美味しいみそ汁を
作るのに応用するか？」と言った事には応用できませんか？

ベクトル解析も「如何にして、経理に応用するか？」が
知りたかったのですが、この辺は自分で時間をかけて研究しようと思います。

Laplace変換により、「数学の万能性」に憧れたのですが、単なる
「ミーハー」で勉強不足だった様ですね。

補足

甘えついでにもう一つ質問をさせてください。
高校数学は「軌跡」「極座標」以外は理解しております。
「数列・行列」「極限値」は理解できた物の「何故そんなことを習う
必要が有るのか」が意味不明でした。（量子力学に応用？）

そんな私は何から勉強すれば良いのでしょうか。目的は数学検定の
最高峰です。そして美味しい味噌汁を作ります！

勿論Laplace変換、Taylor展開、ロピタルの定理、ベクトル解析、
その他先人の知恵を活かすことを厭いません。
「先人の知恵を活かす」これが数学であると思います。

尚、私の高校の先生は「漸化式含む数列も全てベクトル解析で
解いた。」との事です。その先生の口癖は「点と直線の距離が解れば
高校数学の幾何学は殆ど覚える必要は無い」との事でした。
とある国立大学理学部数学科出身の先生です。