経営数学の問題：オーナーマネージャーの労働時間と効用水準
- オーナーマネージャーの労働時間を最大化するとき、効用水準も最大になる。
- 二人企業では、理想的な共同企業、パートナーシップ企業、プリンシパル・エージェント企業の３つの場合で各人の労働時間と効用水準を分析する。
- 経営数学において、労働時間と効用水準の最適化が重要な要素となる。
- ベストアンサー
経営数学の問題です。
お手上げです。誰か解いて下さい。お願いします。 １．まず、オーナーマネージャーのみからなる企業を考える。生産される価値は労働時間eに比例し、これを所得yとしてすべて受け取るとする（y=10e）。彼の効用uはこの所得yと余暇x（総時間24時間から労働時間eを差し引いたもの）から定まるが、ここではその関数型をu≡xyとする。彼の効用を最大にする労働時間およびそのときの効用水準はどれほどか。 次に、二人企業では、各人が生産する価値が12eとなるが、両者の効用関数はu≡xyのままとする。総効用を最大化する理想的な共同企業、生産された価値を二分するパートナーシップ企業、固定報酬をエージェントに支払うプリンシパル・エージェント企業の３つの場合について、各人の労働時間と効用水準がどうなるかを分析せよ。
- kjatusi
- お礼率66% (2/3)
- 数学・算数
- 回答数1
- ありがとう数1
- みんなの回答 （1）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
微分法を使って、最大値（極値）を求める問題です。 ●一人企業。 y=10e x=24-e u=xy においてuを最大にするeを求めよ。 つまり u= 10(24-e)e です。uはeの２次関数。その最大値を求めたい。そこでuをeで微分したものu'を考えます。 u'=10(24-2e) となり、uを最大にするe（これをemと書く）においては 10(24-2em)=0 が成り立つ。これを解いて em=12 が得られます。uの最大値は10(24-em)em=1440。 ●次に、メンバーaとbから構成される二人企業。 aの労働時間をea, 生産する価値をwa, 余暇を(24-ea)、効用をua、所得をyaとすると wa=12ea ua=(24-ea)ya bも同様にすると wb=12eb ub=(24-eb)yb 以下、易しい順に片づけましょう。 ・固定報酬をエージェントに支払うプリンシパル・エージェント企業 所得ya, ybは固定です。従ってaが自分の効用 ua=6(24-ea)ya を最大にするにはeaが小さいほど良い。つまり働かないで余暇を増やせば良い。bにとっても事情は同じなので、eam=0、ebm=0。総効用=144(ya+yb)、総生産価値=0です。「お役所」ですな。 ・生産された価値を二分するパートナーシップ企業 生産される価値の合計は wa+wb = 12 (ea+eb) これを二分したものが所得になるので、 ya = 6(ea+eb) よってaが受け取る効用は ua=6(24-ea)(ea+eb) です。aはuaを最大にするようにeaを決め（これをeamと書く）、bもubを最大にするようにebを決め（これをebmと書く）る。 uaをeaで微分したものをua'とすると ua'=6(24-2ea-eb) よって、eam, ebmは (1) 6(24-2eam-ebm)=0 を満たす。bにとっても事情は同じなので (2) 6(24-2ebm-eam)=0 この連立方程式を解くことになります。(1)から (1') ebm = 24-2eam が得られ、これを(2)に代入すると (2') 24-2(24-2eam)-eam=0 これを解いて eam = 8 (1')にeam=8を代入して ebm = 8 となります。ゆえに uaの最大値=ubの最大値=6(12+8/2)^2=6(16)^2=1536。 総効用=2×1536=3072。 総生産価値=12 (ea+eb)=12×(8+8)=192。 aはeam以上に働くと自分の受け取る効用が却って小さくなってしまう。 たとえばea=9, eb=8としてみると ua=6(24-9)(9+8)=6×15×17 = 1530 ub=6(24-8)(9+8)=6×16×17 = 1632 つまり、自分の効用が減って、相手の効用ばかり増やすことになります。bにとっても事情は同じです。 ・総効用を最大化する理想的な共同企業 では総効用S=ua+ubが最大になるようにea,ebを決める。 これだけではya, ybがどうなるのかが不明なので、進みようがありません。しょうがないから、ya,ybは総生産価値wa+wbのA倍（A>0）をa,bでka:(1-ka)の比率で分けるものとして ya = A ka (wa+wb) yb = A (1-ka) (wa+wb) としておきましょう。ya+yb=A(wa+wb)です。すると S=12A(24-ea)ka (ea+eb)+12(24-eb)(1-ka) (ea+eb) =12A(24-eb(1-ka)-eaka) (ea+eb) これを最大にするea, eb, kaを求めたい。（Aは幾らであっても答に影響しません。たとえばA=1でもA=0.1でも同じ事です。） Sをeaで微分したもの∂S/∂ea, Sをebで微分したもの∂S/∂eb, Sをkaで微分したもの∂S/∂kaはそれぞれ ∂S/∂ea=12A(24-eb-2eaka) ∂S/∂eb=12A(24-ea-2eb(1-ka)) ∂S/∂ka=12A(eb-ea) (ea+eb) となります。Sが最大になるのは、これらが全部0になる解(eam,ebm,kam)であり、すなわち (1) 12A(24-ebm-2eamkam)=0 (2) 12A(24-eam-2ebm(1-kam))=0 (3) 12A(ebm-eam) (eam+ebm)=0 が成り立つ。この連立方程式を解けば良いのです。(3)から（12A,eam,ebmは負の値にはならないので） ebm=eam であることが分かります。つまりSを最大にするには二人とも同じだけ働く必要がある。以下em=eam=ebmと書くことにすると、(1)と(2)は (1') 24-em-2emkam=0 (2') 24-3em+2emkam=0 となり、(1')+(2')を作ると 48-4em = 0 従ってem = 12となります。だからeam=12, ebm=12です。 これを(1')に代入すると (1'') 24-12-2×12kam=0 すなわち 12-24kam=0 であり、kam=0.5と決まります。総効用Sを最大にするには、所得は総生産価値のA倍を折半する必要がある、ということですね。 以上から、総効用Sを最大にするには eam=12, ebm=12, kam=0.5 でなくてはならない。 a, bがそれぞれ受け取る効用は12A(24-12)12=1728A。総効用は2×1728A=3456A。総生産価値=12 (ea+eb)=12×(12+12)=288。
関連するQ&A
- 数学の不確実性の問題について教えてください
数学の不確実性の問題について教えてください 効用関数u=(x)を、u(x)=√xとおく(x:所得)。ここで、所得xは、８０％の確率でx=900,20％の確率でx=100という値をとるとする。 (a)期待所得(xの期待値)を求めなさい。 (b)期待効用を求めなさい。 (c)確率１でyが得られるとき、この消費者の効用水準は(b)で求めた期待効用の水準と等しくなった。yの値を求めなさい。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 経済学の効用関数について
2財x、yを消費するある個人の効用関数が u=2xy２乗 （u：効用水準 x:x財の消費量、y：y財の消費量） x財の価格が１、y財の価格が４、所得が２４。 （１）予算式を記せ。 （２）Ｘ財の限界効用、Ｙ財の限界効用を求めよ。 （３）効用を最大にするＸ財、Ｙ財の組み合わせを求めよ。 （４）実現される最大の効用を求めよ。 （５）所得が３０に増大したときのx財とy財の弾力性をそれぞれ求めよ。 という問題が学校の課題ででたのですが調べても解き方が全くわかりません。 どなたか教えていただけないでしょうか
- 締切済み
- 経済学・経営学
- マクロの問題
問題を解いたのに答と解き方がなくて困ってます（＞＜） どなたか教えてください。 １．以下のコブ＝ダグラス型の効用関数をもつ家計が第１期の消費Ｃ1と第２期の消費Ｃ2に関して効用を最大化する。（実質）所得Ｙは、第１期に与えられるｙ＝2.5だけであり、第２期の消費は、実質利子率ｒ＝２０％を与える金融資産の貯蓄ｓによる元利合計によってまかなわれる。このとき、第１期における消費の第２期における消費に対する限界代替率を求めよ。 また、効用最大化の解（Ｃ1,Ｃ2,Ｓ）を求めよ。 Ｕ（Ｃ1,Ｃ2）＝Ｃ1^0.4×Ｃ2^0.6 ２．以下のコブ＝ダグラス型の生産関数をもつ企業が、労働力Ｌtと資本ストックＫtを用いて利潤最大化を行う。このとの労働、資本それぞれの限界生産力を求めよ。 Ｙ＝１０Ｋt^0.3×Ｌt^0.7 という問題なんですが（＞＜） 解き方とか、できれば詳しく教えてください。
- 締切済み
- 経済学・経営学
- 労働供給量の決定の問題の解説をお願いします
ある消費者の効用関数がU=3・L・Y-2・L^2-Y^2 (Lは余暇、Yは所得)で示され、かつ一時間当たりの賃金が2であるとき、この消費者が効用最大化を図ったときの一日の労働時間は何時間か。 ただし、この消費者は1日を余暇と労働以外に充てないこととする。 ヒントで偏微分を使うと聞いたのですがやり方がわからず、予算制約式を作ってY=48-2LをUに代入し微分するというやり方で答えが出ると思ったのですが三次方程式が残り答えの出し方がわかりません。この問題の解法をできるだけ分かりやすく教えてください。
- ベストアンサー
- 経済学・経営学
- 数学IIの問題です。よろしくお願いします。
数学IIの問題です。よろしくお願いします。 実数x,yがx2+xy+y2=1を満たすとき、次を求めよ. (1)x+y=u,xy=vとして、u,vの満たす関係式とuの最大値と最小値 (2)x2+y2 の最大値と最小値 (3)x3+y3 の最大値と最小値 お願いします・・・！
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 一般均衡の問題です。
同一の効用関数 U=xy^a を持つn人からなる経済を考える。ここで、xとyはそれぞれの財の数量を表し、a>0とする。各個人は、所有する一単位の労働からxもしくはyを一単位生産し、ほかの財と交換する(労働の不効用はゼロ)。x財の価格は１、y財は完全競争価格pで取引される。また、x財とy財の生産を選択する人数をそれぞれsとtとする。次の問題に答えよ。 1 各個人のxとyの支出比を求めよ。 2 xを生産する者のyの需要量を求めよ。 3 ワルラス均衡価格を求めよ。 4 xを生産する者とyを生産する者の効用比を求めよ。 5 xを生産する者とｙを生産する者の効用比を求めよ。n=20,a=4として、各個人がより効用の高くなる財の生産を自由に選択するとき、実現するxとyの総生産量の比を求めよ。 1は1:aと求まりました。2はa/(1+a)pとなり、3は(n-1)(a+1)/2となりました。 4以降からわかりません。4は各個人の間接効用に3の均衡価格を代入すれば得られると考えたのですが、もっともらしいような答えが得られません。 4の考え方がよくないのでしょうか、それとも3までの解答があっていないのでしょうか。わかる方はヒントでもよいのでご教授願います。
- ベストアンサー
- 経済学・経営学
- 費用最小化行動と効用最大化行動との比較
『価格がＰ１（ほんとはＰの右下につく小さな１をあらわしたかったのですが、どうしたらよいかわからないので、このようにあらわします。以下同じです。）Ｐ２であり、効用水準ｕであるときの補償需要は、価格がＰ１、Ｐ２であり、所得がＥ（Ｐ１、Ｐ２、ｕ）であるときの需要に等しい』 これはつまり、最小化行動において決まる、最適な需要量は、最大化行動において決まる、最適な需要量と同じだ（価格、所得、効用が共通の場合）ということを言ってるのですよね？ ならば、『価格がＰ１、Ｐ２、効用水準がｕであるとする。このとき価格Ｐ１、Ｐ２と所得Ｅ（Ｐ１、Ｐ２、ｕ）の間接効用が効用水準ｕに等しい。』とはつまり、どうゆうことを言っているのですか？ 数式で表されたりしているのはわかるのですが、言葉で言い表すとどのような意味になるのかよくわからないので、いまひとつ納得いかないのです。わかる方是非教えてください！！
- 締切済み
- 経済
- 経済数学の問題です。
ラグランジュ関数を利用した効用最大化解を求める問題です。 消費者はプライステイカー 効用関数 u(x,y)=x^(2/3)+5y^(2/3) 消費者の所得 I>0 価格をそれぞれ px>0 py>0 予算制約のバインド確認済み s,t, I-px-py=0 効用関数が凹関数であること確認済み であるときの効用最大化する財x,yを求める。 このときの数式の処理がわかりません 1階条件を求め、 (2/3)x^(-1/3)-λpx=0 5(2/3)y^-(1/3)λpy=0 I-(px)x-(py)y=0 ここまでは導けたのですが、この先の処理で答えが複雑になってしまい解けないです。 ご教授ください;;
- ベストアンサー
- 経済学・経営学
- 経済数学の利潤最大化問題です。
ある企業の利潤最大化問題を考える。 投入要素 x ≥ 0, y≥ 0,から、生産財を生産する。 企業の生産関数 F(x, y, z) = √x + √y + √xy である。 １）Fが凹関数であることを示す。 ２）生産財価格が p = 1, 投入要素 x, y の単位当たり購入費用が、px > 0, py > 0 で、企業がプライステイカーであると仮定して利潤最大化問題の定式化。 ３）２で定式化した利潤最大化問題を解き、企業の利潤を最大化させる投入要素の投入量を求める。ただし、4pxpy − 1 > 0 である。 の解き方がわかりません。図書館等で調べてみましたがうまく解けませんでした。助けてください;;
- ベストアンサー
- 経済学・経営学
お礼
細かく教えていただいてありがとうございました！！ 大変役にたちました。 本当に、ありがとうございます。