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証明問題?(積分)

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P(x) が3次の整式であるとき、次の式が成り立つことを示せ
 ∫(a,b) P(x)dx = {(b-a)/6}*[P(a)+P(b)+4P{(a+b)/2}]

と言う問題です。 ∫(a,b)は、aからbまで積分する と言いたかったんです(どうかけば良いか分からなかったので..
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質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.1
レベル12

ベストアンサー率 48% (325/664)

少々力押しですが、
 P(x)=a*x^3+b*x^2+c*x+d
として、両辺を計算してみましょう。

…それとも、そういった力押しをせずに解く方法はないか、という意味でしょうか?
お礼コメント
noname#1251

力押しですね。
ありがとうございます。多分できたと思います(何
投稿日時 - 2002-01-25 12:14:29
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  • 回答No.2
レベル11

ベストアンサー率 36% (175/474)

#1のhitomuraさんとまったく同じ方法なのですが、式の表記だけ変えてみて、 P_n(x)=(c_n)x^nという単項式(c_nはn次の項の係数)とおいてみると、 n=0,1,2,3のときに上式が成立することが、多項式を一気に扱うよりはだいぶん楽に(いや、本質的にやるべきことはまったく変わらないのですが^^;項がいっぱいあると目がちかちかするかな?と思って)わかります。ちなみにn=4のとき上式が成 ...続きを読む
#1のhitomuraさんとまったく同じ方法なのですが、式の表記だけ変えてみて、
P_n(x)=(c_n)x^nという単項式(c_nはn次の項の係数)とおいてみると、
n=0,1,2,3のときに上式が成立することが、多項式を一気に扱うよりはだいぶん楽に(いや、本質的にやるべきことはまったく変わらないのですが^^;項がいっぱいあると目がちかちかするかな?と思って)わかります。ちなみにn=4のとき上式が成り立たないこともわかります。(それ以上のnについては考えてもいません)
任意の3次式で成立するならば、単項式でも成立するはず(係数が0の特別な場合)という考え。
あとは、P(x)=P_0(x) + P_1(x) + P_2(x) + P_3(x)を考えて、一般の3次多項式でも成り立つということではだめでしょうか?

さて、3次関数の図形的性質みたいなものはあるのでしょうか?!(考えてもいないですが^^;)
補足コメント
noname#1251

あの…、 _ の意味が分からないんですけど…。すいません。
投稿日時 - 2002-01-25 12:14:41
お礼コメント
noname#1251

まあいいや。ありがとうございました
投稿日時 - 2002-01-25 16:05:38


  • 回答No.3
レベル12

ベストアンサー率 48% (325/664)

>#1のhitomuraさんとまったく同じ方法なのですが、式の表記だけ変えてみて、 >P_n(x)=(c_n)x^nという単項式(c_nはn次の項の係数)とおいてみると、 >n=0,1,2,3のときに上式が成立することが、多項式を一気に扱うよりはだいぶん楽にわかります。 (No.2のkony0さんの回答、一部省略) あぁっ、まったくもってそのとおりでした(^^; これは積分の線形性によって ...続きを読む
>#1のhitomuraさんとまったく同じ方法なのですが、式の表記だけ変えてみて、
>P_n(x)=(c_n)x^nという単項式(c_nはn次の項の係数)とおいてみると、
>n=0,1,2,3のときに上式が成立することが、多項式を一気に扱うよりはだいぶん楽にわかります。
(No.2のkony0さんの回答、一部省略)
あぁっ、まったくもってそのとおりでした(^^;

これは積分の線形性によってそのようなことがいえるのですが、また線形性によって証明すべきことは
 Q_n(x)=x^n
で済みます。
#念のため、ベクトル空間Vの元に対する演算Γが線形であるとは、
#Vの任意の元v,wと定数aに対して
#(1)Γ(v+w)=Γ(v)+Γ(w)
#(2)Γ(a*v)=a*Γ(v)
#が成り立つことを言います。
#3次までの多項式全体をP(3)と書くと、これは4次ベクトル空間であり、
#aからbまでの定積分はP(3)から実数への演算となります。
#この定積分に対して(1)と(2)が成り立つので証明すべき式はQ_n(x)=x^n(n=0,1,2,3)
だけで済みます。
お礼コメント
noname#1251

既に未知の領域です(汗
先に自分がどこまで分かるのか言っておいた方がよかったですね
投稿日時 - 2002-01-25 12:17:55
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