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広義積分の可能/不可能の判定問題
次の式が広義積分可能かどうかを問う問題です。 (1)∫[-∞,+∞]sinx dx (2)∫[0,+∞](sinx)/x dx (3)∫[0,+∞]|sinx|/x dx (1)番は、 ∫[-a,+a]sinx dxの極限(a→+∞)を取れば０になりますが、 それ以前に[-a,+a]の極限として考えていいかどうか問題がありますし、 だからといって、[-b,+a]の極限(a,b→+∞)と考えてしまうとどうしようもありません。 ここでは詳細は書きませんが、(2)番以降も手がつけられなくて困っています。 どうか教えてください。お願いします。 もちろん１問だけでも結構です。
- suima
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(2) ∫[2nπ,(2n+1)π]sinx/x dx ≦(1/2nπ)∫[2nπ,(2n+1)π] sinx dx=1/nπ ∫[(2n+1)π,2(n+1)π]|sinx|/x dx ≦(1/2(n+1)π)∫[2(n+1)π,2(n+1)π] sinx dx =(1/(n+1)π) よって |∫[2nπ,(2n+1)π]sinx/x dx|≦(1/n - 1/(n+1))/π このように収束する級数で抑えられるので積分は存在します。
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- grothendieck
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すみません。No2の回答の中でコーシーの綴りが誤っていました。正しい綴りはCauchyです。Cauchyの主値についてはGelfand, Shilovの超関数論などを御覧下さい。
- thetas
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>(1)番は、 >∫[-a,+a]sinx dxの極限(a→+∞)を取れば０になりますが、 >それ以前に[-a,+a]の極限として考えていいかどうか問題がありますし、 >だからといって、[-b,+a]の極限(a,b→+∞)と考えてしまうとどうしようもありません。 [-b,+a]の極限(a,b→+∞)と考えないといけません。 それが、定義です。 で、bを固定して、a→+∞はどうなのかと考えますと、極限は存在しませんので、 (1)は積分不可能。 (2)は、[a,b]でa→+０、b→+∞と考えましょう。（それが定義） で、[a,b]での積分をして、極限をとると積分可能であるとわかります。 (3)は、(2)と同様にして、 [a,b]でa→+０、b→+∞と考えてみます。 が、直接積分できないので、≧でつなぎ、 小さいほうが＋∞にいくので、積分不可能といえます。
お礼
定義に則った回答ありがとうございます。 ∫[-∞,+∞]はlim(a→∞)∫[-a,a]ではダメなんですね。 今後そんな考えに至らないように気をつけます。 ありがとうございました。
- grothendieck
- ベストアンサー率62% (328/524)
下の回答で |∫[2nπ,(2n+1)π]|sinx|/x dx|>(2/(2n+1) + 1/(n+1))/π は |∫[2nπ,2(n+1)π]|sinx|/x dx|>(2/(2n+1) + 1/(n+1))/π の誤りです。
- grothendieck
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suimaさん、こんにちは。 ∫[-a,+a]sinx dxの極限はChaucyの主値と呼ばれ、通常の広義積分とは別のものです。通常の広義積分の定義は「∫[-b,+a]sinx dxで(a,b→+∞)のどのような極限のとり方をしても一定の値に収束する時、その値を広義積分と呼ぶ」ということなので、∫[-∞,+∞]sinx dxは存在しません。 (3)∫[0,+∞]|sinx|/x dx ∫[2nπ,(2n+1)π]|sinx|/x dx >(1/(2n+1)π)∫[2nπ,(2n+1)π] sinx dx=2/(2n+1)π ∫[(2n+1)π,2(n+1)π]|sinx|/x dx >(1/2(n+1)π)∫[2(n+1)π,2(n+1)π] |sinx| dx =(1/(n+1)π) よって |∫[2nπ,(2n+1)π]|sinx|/x dx|>(2/(2n+1) + 1/(n+1))/π このように発散する級数より大きいので積分は存在しません。
お礼
丁寧な回答ありがとうございます。 1,3番はよく分かりました。 ありがとうございました。
- Eiji57
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(1) x→+∞のとき、sinxは -1～1の間のどの値をとるか分からないので、積分不可能だと思います。 (2) x→+∞のとき、(sinx)/x は正負の値をとりながら、0になるので積分可能。 (3) x→+∞のとき、|sinx|/x→0なので、積分可能。
お礼
素早いアドバイスありがとうございました。
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