曲線の積分問題

質問

曲線ｙ＝１／２{（ｅのｘ乗）＋（ｅのマイナスｘ乗）}の時、ｘがー１以上１以下の部分の長さを求めよという問題です。解は（ｅの１乗）－（ｅの－１乗）となります。私が計算すると解の１／２になってしまいます。ｅの指数の積分の仕方にミスがあるのかもしれませんが、教えてください。

回答No.2

noname#25799 · ベストアンサー

解答あっていると思います。
ds=√（dx^2+dy^2)=√((dx/ds)^2+(dy/ds)^2)ds
ここでdy=1/2*(e^x-e^(-x))dxより
(dy/ds)^2=(1/2*(e^x-e^(-x))^2(e(dx/ds)^2
ここで(1/2*(e^x-e^(-x))^2=(1/2*(e^x+e^(-x))^2-1)=y^2-1
よってds=√(y^2)=y (この範囲でy>0)
もとめるのはy,すなわち1/2*(e^x+e^(-x))。
これを-1から1まで積分すれば解答と一致します。

＃どっか書き損じあるかも知れませんがその場合はご容赦を。

補足

基本的なことかもそれませんが、４行目の後ろの方で　ｅ（dx/ds)の２乗のｅはどうして出てくるのでしょうか。
＃１さんと＃２さんの違いは、最初に３平方の定理で、整理していくとたまたまｙの積分になったということで良いのでしょうか？
恥ずかしい限りですが、よろしくお願いいたします。

回答No.4

sanori

＃２さんになり代わりまして・・・・

＞＞＞＞＞
＃１さんと＃２さんの違いは、最初に３平方の定理で、整理していくとたまたまｙの積分になったということで良いのでしょうか？

いえ、そうではなくて、
私の回答は、最初から間違っています。
私が求めたのは「グラフの線とＸ軸との間の部分の面積」です。
一方、＃２さんが書かれたのは、「曲線の長さ」です。

＞＞＞＞＞
基本的なことかもそれませんが、４行目の後ろの方で　ｅ（dx/ds)の２乗のｅはどうして出てくるのでしょうか。

お詫びついでに解説します。

ds=√（dx^2+dy^2)=√((dx/ds)^2+(dy/ds)^2)ds

曲線の長さをｓと置いています。
微小区間において、微小な長さｄｓは、微小なｘ成分ｄｘと微小なｙ成分ｄｙとを三平方の定理で合成すれば求まることを示しています。

ここでdy=1/2*(e^x-e^(-x))dxより

式の中にｄｘとｄｙの両方が存在すると計算しにくいので、ｄｙを消去する必要があります。
ｄｙを消去するためには、ｄｙを、ｘとｄｘだけであらわす必要があるので、
当初の式
ｙ＝１／２{（ｅのｘ乗）＋（ｅのマイナスｘ乗）}
からｄｙを求めています。

(dy/ds)^2=(1/2*(e^x-e^(-x))^2(e(dx/ds)^2

１行前でｄｙが求まりました。
それを使って、さらに計算をしやすくすために
（ｄｙ／ｄｓ）＾２を求めます。
ｄｙ＾２は　1/2*(e^x-e^(-x))dx　の２乗です。
したがって（ｄｙ／ｄｓ）＾２　は
（ｄｙ／ｄｓ）＾２　＝　（ｄｙ）＾２÷（ｄｓ）＾２
＝　［1/2*(e^x-e^(-x))dx］＾２　÷　ｄｓ＾２　
＝　［1/2*(e^x-e^(-x))］＾２・（ｄｘ／ｄｓ）＾２
となりました

おそらく、ここまで来れば、あとの計算の意味や方法は理解できると思われますので、以下、省略します。

ポイントは、勿論＃２さんに差し上げてください。

補足

ありがとうございます。
(dy/ds)^2=(1/2*(e^x-e^(-x))^2(e(dx/ds)^2の式の
(dy/ds)^2=(1/2*(e^x-e^(-x))^2(e←のｅの出てくるのが理解出来ないのですが、すみません引っ張ってお伺いして。
かなり理解できて来ましたが、数学としばらく離れてしまっていて細かいところで、理解出来ていないようです。

回答No.3

sanori

＃１で回答した者です。

＃２さんのご回答を拝見しました。

最初見たとき、全く意味がわかりませんでしたが、１０分ぐらいして、ようやくわかりました。
「長さを求めよ」というのは、質問者さんの誤記ではなかったのですね。

＃２さんのご回答には感服いたしました。
＃１の回答は見なかったことにしてください。
＃２さんに感謝するとともに、質問者さんにはお詫び申し上げます。

　m(_ _)m

補足

恥ずかしながら、まだ理解出来ていないのですが、（４行目あたりで＃２さんの回答でつまずいています）何が＃１さんと＃２さんで異なるのでしょうか？

回答No.1

sanori

ｘがー１以上１以下の部分の「長さ」じゃなくて
ｘがー１以上１以下の部分の「面積」ですよね？

∫１／２{（ｅのｘ乗）＋（ｅのマイナスｘ乗）}ｄｘ

＝１／２∫{（ｅのｘ乗）＋（ｅのマイナスｘ乗）}ｄｘ

＝１／２（ｅのｘ乗－ｅのマイナスｘ乗）＋ Const.

ｘ＝－１を代入
　　１／２（ｅ＾（－１）－ｅ＾１）＋ Const.

ｘ＝１を代入
　　１／２（ｅ＾１－ｅ＾（－１））＋ Const.

後者－前者
　＝１／２（２・ｅ＾１－２・ｅ＾（－１））

ほらね？

ちなみに、私、計算苦手な方なんですけど・・・

お礼

毎日お付き合いいただきありがとうございます。単純に積分すればよいのですね。この方法では、理解できました。ＮＯ．２で解を頂いたやり方に近い方法が、ＴＥＸＴにあり、まだ苦闘しています。
出題では、長さと記載されています。（一般計量士第５４回一基問８）