微分するとはなんぞや？

質問

微分するってどういうことでしょうか？
その際に導関数や極限値などの単語を使うとき
その意味も教えてください。あと、教科書見てくださいという
解答はやめてください。教科書は定義っぽくて
よくわかりません。さらに限りなく近づけるって
どこまで近づけるのかっていうのがわかりません。
数では表せないのでしょうか？

回答No.9

starflora

微分という概念は、数学的に最初に考えられた時、「微分」に当たる操作を「流量計算」とか云っていました。つまり、流体力学のような分野で考えられたのです。流量とは、何か液体（水など）が流れていて、それが一秒にどのぐらいの分量流れているかというような量のことです。つまり、運動している物体の「速さ」のようなものです。運動している物体は、位置が変わって行きます。どういう風に位置が変わって行くのか、この代わり具合を、数字で把握しようとするため、工夫されたのが、「微分計算」です。

　　例えば、一定の速さで運動している物体（自動車など）は、１時間６０キロメートルとかいう風に「速さ」を、決まった数字で表現できます。これは、物体の位置を直線の上にあるとして、（つまり物体は、直線に沿って運動しているとして）、この直線に沿って、Ｘ軸を考えて、原点をどこかに決め、原点から物体の位置を、ｘで表すと、ｘを時間ｔで微分したものが、「速さ」になるのです。この場合速さ一定なので、ｘをｔで微分すると、一定の数になります。

　　樹の枝から林檎が落ちてくるような場合、林檎の速さは、実は一定ではないのです。どういう風な数字になるかというと、時間が経つと、段々増えて行くような数字になります。枝から落ちる林檎の運動は、加速度運動をしていると云います。速さが変化しているのです。段々落下速度（速さ）は大きくなって行っているのです。どういう風に大きくなっているか、それを数字できちんと確認するには、やはり、林檎の枝からの位置ｘを時間ｔで微分して計算で出さないと分かりません。これは実験により、落下する物体の運動は、その速さをｖで表すと、ｔで微分した値は、係数ａに時間ｔをかけた形になっていることが分かっています。またここから、ある位置ｘでの速さなども決まってきますし、ある時間ｔ1などで、どの位置にあるかも計算で出てきます。

　　この加速度が、物体の落下の場合一定というのは、実験で確認されたことです。速さをｖで表すと、ｖが時間ｔで決まるので、時間の関数であるのです。加速度が一定になるというのは、ｖをｔで微分した値が一定になるということです。ｖをｔで微分するというのは、式で書くと、ｄｖ／ｄｔと書きます。これが一定ですから、例えばａだとすると、ｄｖ／ｄｔ＝ａとなります。

　　これが微分ということです。別に数式としては以上の簡単なものだけで十分です。ｄｖとかｄｔとは何かというのは、それは「微分する」という記号です。ｖをｔで微分する時、記号で、ｄｖ／ｄｔと書くのです。これだけです。

　　貴方のどこまでも近づけるとか云っているのは、関数を微分する場合の具体的な計算方法のことだと思いますが、それは単に技術的な話で、微分とは何か、というのは、上に述べた通りです。位置ｘとか速さｖという変化を表す量があると、それは時間に対する変化なので、ある瞬間、ある特定の時間にはある数字のはずで、これが別の時間では、別の数字になっているということです。ある時刻ｔ1などで、このｘやｖが、どういう数か、または式かを示すのが、ｄｘ／ｄｔやｄｖ／ｄｔです。これを微分と呼ぶのです。

　　微分の計算は、微分の式がありますから、式を覚えてください。どんな式かというと、例えば、ｔの二乗つまり、ｔ^2をｔで微分すると、２ｔとなります。ａ・ｔ^2をｔで微分すると、２ａｔとなります。一般に、ｔのｎ乗をｔで微分すると、つまり、ｔ^nをｔで微分すると、ｎ・ｔ^（n-1）になります。もっと色々計算の式があります。

　　何故、ｔ^2をｔで微分すると答えは２ｔになるのかというのは、それは「微分とは何か」ではなく、「微分の計算はどうするのか」という問いです。

　　どこまで近づけるのか、というのは、わたしも知りませんし、答えは「限りなく近づける」です。

　　時間の関数 f(t) がある時、f(t)を時間ｔで微分するのは、df(t)/dtと書きますが、この式は、ｌｉｍ [dt→0] {(f(t+dt)-f(t))/dt} を略して書いています。

　　ｌｉｍ [dt→0] は、dt を、どんどんゼロに近づけて行くということで、どこまで近づけるかと云うと、「限りなくゼロに近づける」のです。限りなくとは、どこまでか、というのは誰にも分かりません。分かると云う人もいるかも知れませんが、とりあえず微分の場合は、「限りなくゼロに近づける」ので、どこまで近づけるのかわたしは知りません。「限りなく近づける」のです（つまり、dtはゼロになってはならないのです。ゼロではなく、ゼロに限りなく近づけるのです）。どう近づけるは、普通、数では表せません。

　　この回答では、分からないというなら、何が分からないか、補足で質問してください。微分とは以上に説明したものですし、微分の計算の細かいテクニックは、とりあえず、「微分とは何か」とはちょっと別の問題です。上の式を言葉で云うと、dtを限りなくゼロに近づけた時、(f(t+dt)-f(t))を dt で割った関数が限りなく近づくある関数の形です。これを、f(t) のｔによる微分、あるいは、ｔによる、f(t)の導関数というのです。

　　導関数の意味は、いま述べた通りです。そして、極限値とは、dt を限りなくゼロにする時、(f(t+dt)-f(t))を dt で割った関数が、限りなく近づいて行く関数つまり導関数を、この式の極限値と呼ぶのです。「限りなくゼロに近づく」とは、「ゼロになってはならず、しかし、ゼロとdtの差は、限りなくゼロになって行く」ということです。

　　この限りなくゼロに近づけるというのは、もう少し詳しい言い方がありますが、基本的には「限りなくゼロに近づける」です。数では表現できません。言葉を式に表したものはありますが、その式の意味はと尋ねると、「限りなくゼロに近づける」という意味で、それに、もう少し複雑な条件が付いているだけです。

　　注） 上では、時間ｔで微分する場合の話になっていますが、別に時間でなくともよいのです。ｔではなく、ｚという量で微分するなら、ｆ(ｚ)という関数の微分は、上で、df(t)/dt と云っているのを、df(z)/dz とするだけです。微分計算は起源的に、時間で微分することから始まったので、時間ｔで代表的に説明しただけです。