微分可能の意味

質問

f(x)の１点a,区間Ｉで微分可能の、平均変化率の方の定義は知っています。

でも１点a、あるいは区間Ｉで微分可能であることが、何を意味するのか、どこまでを言っているのか、よくわかりません。
（そして微分の勉強は、平均変化率の極限を求めることがまず始めに来るので、そこがわからないと先へ進めません。）

私の考えた所では、そのグラフをaを中心にどこまでも拡大していくと、どこまでもある１つの直線に近づいていって、その直線の変化率はcである。ということですが、
自然にあるようななめらかな関数以外に、変な挙動の関数ですとか、平均変化率の近づき方が変な場合はどうなのかということを考えてしまうと、混乱してしまいます。
（挙動が未知の関数にいきなり微分していることもあると思うのですが、そうしたときにその関数がなめらかな曲線と限らないのでどうしても考えてしまいます）

物理学との関連で考えていて、落体運動の関数で確かに、平均変化率の極限をとることで、刻々と変化する（ように見える）スピードを捉えることができ、その導関数の積分が、元の落体運動の関数の変化になる。ということは非常に納得がいきます。

でも逆から考えて（挙動が未知の関数に微分をぶつけていく以上、その必要がやはりあるとおもいます）、平均変化率の極限自体にいかほどのことが言えるのか、ある区間Ｉで微分可能ならＩで自然ななめらかな関数と考えられるのか、それに関してとても混乱しています。

微分に関する他の部分の示唆も含めてご教授くださいますと幸いです。

回答No.3

alice_44

もっともな疑問だと思います。
過去の数学者達が、貴方と同じことを疑問に感じたから、
解析学には、微分可能性などに関する小ウルサイ議論があるのです。

平均変化率の極限から何が解かるのか？が直感的でないと感ずるのなら、
微分係数の定義を「平均値定理における一次項の係数」に変更してしまいましょう。
そうしておけば、それが関数の一次近似の係数であることは自明だし、
一次近似可能な場合に、「平均変化率の極限」が収束して、この係数に一致する
ことは、比較的容易に証明できます。

高次微分係数についても、微分係数の微分係数を反復して定義するより、
テイラーの定理のn次項の係数(を n! 倍したもの)で定義してしまった方が
議論がスッキリします。

お礼

感動しました！
実はここに投稿したのはalice_44さんに答えて頂けるのではないかと期待したからでした。
どうもありがとうございます。
質問の意図を汲んでいただいたように思います。
ご回答頂いた方向でやっていきます。

何かいい数学書を推薦していただけないでしょうか？
この分野に限らず、入門や一般のものでも何かあれば教えてください。
現状は高校の範囲をできるだけ意味を考えてやっています。
よろしくお願いします。

回答No.2

tac351115

微分可能だから滑らかとは限りません。逆は言えますが・・・

Wikipediaの「滑らかな関数」をご参考に。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%BB%91%E3%82%89%E3%81%8B%E3%81%AA%E9%96%A2%E6%95%B0

回答No.1

hugen

点aで微分可能なら
f(x)-f(a)/x-a=f '(a)+g(x)　と　置くと
f(x)
=f(a)+{f '(a)+g(x)}(x-a)
=f(a)+f '(a)(x-a)+g(x)(x-a)　.　g(x) → 0　( x → a )
=f(a)+{f '(a)+o(1)}(x-a)=f(a)+f '(a)(x-a)+o(x-a)
f(x)　は、関数の値なので
y=f(a)+f '(a)(x-a)　は,f(x)の値の近似です。
関数の形まで近似した和気ではありません。