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微分するとはなんぞや?

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お礼率 12% (43/358)

微分するってどういうことでしょうか?
その際に導関数や極限値などの単語を使うとき
その意味も教えてください。あと、教科書見てくださいという
解答はやめてください。教科書は定義っぽくて
よくわかりません。さらに限りなく近づけるって
どこまで近づけるのかっていうのがわかりません。
数では表せないのでしょうか?
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回答 (全12件)

  • 回答No.4
レベル11

ベストアンサー率 36% (175/474)

質問の趣旨とはずれているかもしれませんが、具体的な一例を。 高校の物理では微分を表に出さないようにしていると思いますが、いちばんわかりやすい具体例は、「変位を時間で微分すれば速度になる」ということかと思います。 小学生が文章題で扱う「ダイヤグラム」を考えるといいでしょう。 時刻tにおける変位をf(t)とする。(わかりにくければ、家を出てからtだけ時間がたったとき、家からy=f(t)の距離にある地 ...続きを読む
質問の趣旨とはずれているかもしれませんが、具体的な一例を。
高校の物理では微分を表に出さないようにしていると思いますが、いちばんわかりやすい具体例は、「変位を時間で微分すれば速度になる」ということかと思います。
小学生が文章題で扱う「ダイヤグラム」を考えるといいでしょう。

時刻tにおける変位をf(t)とする。(わかりにくければ、家を出てからtだけ時間がたったとき、家からy=f(t)の距離にある地点にいるとする。と考えて下さい。)(ちなみに、t-f(t)のグラフを描いたものがダイヤグラムそのもの)
このとき、[a,b]間の平均速度は、{f(b)-f(a)}/(b-a)は当たり前ですよね?(逆走はとりあえず考えないで・・・)そしてこれは図上では「2点間を結ぶ直線の傾き」として表されることもわかるでしょう。)
じゃぁ、時刻aにおける(瞬間の)速度は?と聞かれると、[a,a+瞬間]の平均速度を考えることになります。すなわちbをaに近づける。どれぐらい近づけるの?と言われても、「どこまでも限りなく近く」としか言えません。。。(後述参照)
ところで、グラフ上で、bをaに近づけていくと、2点間を結ぶ直線はどうなるかと言えば、「接線」になることが見て取れると思います。(グラフを描いて、定規でもあてて目で感じ取って下さい)

すなわち微分して出てくるのは、グラフ上のある点における接線の傾きであることがわかると思います。そしてこの接線の傾きが「時刻aでの(瞬間の)速度」というわけです。

ちなみに、導関数とは、微分をした式のことと思っておけば十分。
極限値とは、b→a(あるいは△x→0)としたときのlimをとったときの値のことです。だから、
・もとの関数f(x)について、「微分」の定義式に従って△x→0の「極限値」ととったものが「導関数」である。
ということで言葉の整理を付ければいいのではないでしょうか?

さらに、毎回微分の定義に従って極限値をとるのは面倒くさいので、(x^n)'=nx^(n-1)などという、導関数(あるいは微分)の公式を作ってある、ということです。(通常微分するときには、極限値がどうのこうの・・・とはあまり意識しないというわけです。しかしこの公式はもちろん定義に従い極限をとって導出される式ですが)

さて、最後になぜ「限りなく近づける」の「どこまで?」が言えないかと言えば・・・簡単な背理法で示してみましょう。
いま、aに限りなく近づけて、これ以上aに近い数はない(けどaよりほんのちょっと大きい)「a+ε」という数があると仮定します。このときε>0です。(等号は入りません)
そして「a+(1/2)ε」という数を考えてみると・・・aよりは大きく、a+εよりは小さい、すなわち限界と考えていたa+εよりも、a+(1/2)εのほうがもっとaに近いことがわかります。(矛盾)
ということで、aに限りなく近づけるといっても、具体的に「どこまで」近づけるというのは明言できないのです。文字通り「限りなく」というわけです。

文章がぐちゃぐちゃで読む気しなさそうですが、納得いきますでしょうか?!(納得してもらえる自信がないので、「自信なし」としてます^^;)

  • 回答No.5
レベル12

ベストアンサー率 43% (186/425)

>さらに限りなく近づけるって >どこまで近づけるのかっていうのがわかりません。 >数では表せないのでしょうか? この部分に限定して回答したいと思います。 結論からいうと、「数では表せません。」 例を示しましょう。 「0.99999.....=1」 という式はご存知ですね? (簡単な証明: 1/3=0.3333.....だから両辺3倍して、 1=0.99 ...続きを読む
>さらに限りなく近づけるって
>どこまで近づけるのかっていうのがわかりません。
>数では表せないのでしょうか?

この部分に限定して回答したいと思います。

結論からいうと、「数では表せません。」

例を示しましょう。
「0.99999.....=1」
という式はご存知ですね?
(簡単な証明:
1/3=0.3333.....だから両辺3倍して、
1=0.99999.....。
疑問があれば、下記No.3の記事に書かれているサイト参照下さい。)
で、ここで、
「9をいくつ並べたら、本当に1になるの?」
というのが、「さらに限りなく近づけるって、どこまで近づけるの?」
という質問の具体的な質問になります。
さあ、何個9を並べたら1になるのでしょうか?
具体的な数では、表せませんね。
これが、「さらに限りなく近づける」つまり
「無限に近づける」ということです。
すなわち、「無限」(限りなく)は「数」では表せません。
「無限(∞)」というのは「数」ではないのです。
では何なのか?私個人は、「状態」だと理解しています。もしくは「操作」です。

これで、「限りなく」はよろしいでしょうか?

では、ちょっと蛇足を書きます。
なぜ、こんなことが起るのでしょうか?
それは、「実数の集合が連続だから」です。ここで「連続」が、キーワード
です。「連続」とは、どういうことでしょうか?
実数の集合をあらわす時、何気なく「数直線」を書いていますよね?
実は、この「数直線」には、驚くべき性質があります。
たとえば、「1」でこの数直線を「切断」したとします。
「右半分の切り口には『1』という「数」が存在するように」切りました。
では、「左半分の切り口にはどういう「数」が存在するでしょうか?」
答えは、「0.9999.....というようなものがあり、「数」は存在しない。」
のです。
このように、「数直線を切断したとき、片方の切り口には「数」が存在し、
もう片方の切り口には「数」が存在しない。」というのが、「数直線が
連続である。」すなわち、「実数の集合が連続である。」ということになります。
これを「デデキントの切断」といいます。「連続」の定義の仕方の一例です。

それで「右に「ある数」があるとして切断したとき」と「左に「ある数」がある
として切断したとき」で、左右の「ある数」が一致したとき、
「極限値」が存在し、その「ある数」が「極限値」となります。

さて、実感がないと思うので例を出しましょう。
「午前0時を「今日」のはじめの「瞬間」だとすると、
「昨日」の最後の「瞬間」は、いつでしょうか?」
「午後11時59分59秒9999......」
つまり、「昨日の最後の『瞬間』」は存在しないのです。
「瞬間」を「数」と置きかえれば、上の意味と同じになります。
これは「時間が連続だから」というか「時間が連続であることの定義」に
なっています。

こうして、「実数が連続」であるからこそ、「限りなく近づける」なんていう
ことが出てきます。

以下いいかげんな「イメージ」的説明です。
この数直線をぐにゃっとまげて一般の曲線にしましょう。それを数式で
表したのが、関数で、その関数上で今のように「限りなく近づける」ことを
考えてください。そうやって「傾き」を定義したのが微分です。
すなわち、「関数が連続でなければ、微分はできない。」のです。
これは、「関数が連続である」ことが「微分可能」の必要条件である、
ということです。

このように、「限りなく近づける」ことと「連続である」ということは、
密接な関係にあります。

以上、蛇足の方が長くなりました。
わかりにくい説明で余計混乱させたかもしれませんねえ。
  • 回答No.3
レベル14

ベストアンサー率 15% (594/3954)

まえの回答で >微分するというのは、簡単に言えば接線の傾きを求めることです。 とあります。 曲線というのは、たえず「傾き」を変えながらグラフ用紙の上をのたくっているものと思ってください。「傾き」が同じなら、「直線」になります。 傾き具合(傾きの変化具合)がわかれば、曲線が表わせるわけです。 で、たとえば、分度器でも、「直線」がないと表わせません。だから「接線」にあわせます。 じゃあ、 ...続きを読む
まえの回答で
>微分するというのは、簡単に言えば接線の傾きを求めることです。
とあります。

曲線というのは、たえず「傾き」を変えながらグラフ用紙の上をのたくっているものと思ってください。「傾き」が同じなら、「直線」になります。

傾き具合(傾きの変化具合)がわかれば、曲線が表わせるわけです。
で、たとえば、分度器でも、「直線」がないと表わせません。だから「接線」にあわせます。
じゃあ、その接線の傾きはどうやって・・、ということになって、「微分」だ出てきます。

2つの点を最短で結んだのが「直線」ですから、「接点」の近くの点を1つ決めて、結ぶと直線がひけます。この点が近いほど「正確」に近くなります。どこまで、という限界はありません。近づければ近づけるほど・・と思っていただいたらいいでしょう。
(「限りなく近づけたもの」が本当に正しいか?というのは、「0.999・・・・」は「1と同じか?」という質問が過去にけっこう出ています。)

ただ、「その点」の右側に近づいた点も、左側に近づいた点も、結んで出来る直線の傾きがともに正確化すればするほど「2」に近づいていく、ということであれば、その接点の傾きは2である、と信じることが出来るでしょう。
  • 回答No.2
レベル14

ベストアンサー率 30% (2593/8599)

「微分」とはある関数の任意のXにおける接線の傾きをXの関数としてあらわすという事です。接線の傾きを現す関数を「導関数」と言います。 「微分する」と言うのをもう少し具体的に言うとごく小さな値Δxを考えます。 関数y=f(x)の接線の傾きの近似値はxとx+Δxを使って 接線の傾き=Δy/Δx=(f(x+Δx)-f(x))/((x+Δx)-x) ここでΔxをどんどん小さくしていきます。0にな ...続きを読む
「微分」とはある関数の任意のXにおける接線の傾きをXの関数としてあらわすという事です。接線の傾きを現す関数を「導関数」と言います。

「微分する」と言うのをもう少し具体的に言うとごく小さな値Δxを考えます。
関数y=f(x)の接線の傾きの近似値はxとx+Δxを使って

接線の傾き=Δy/Δx=(f(x+Δx)-f(x))/((x+Δx)-x)

ここでΔxをどんどん小さくしていきます。0になる直前まで限りなく小さくして、しかも0にしてはいけません。この考え方を極限と言います。Δxが0になると接線の傾きは0/0で「不定」になってしまいます。

例をあげます。切り立った崖があります。崖から落ちない範囲で、限りなく崖っぷちに近づけ!
このとき、落ちる瞬間に初めて崖っぷちの限界を知る事が出来ます。
崖っぷちから0であってはいけないが、考え方(落ちてみて判る)によっては0でもあるという不思議な世界が極限の世界です。

限りなく近づけると言うのは、数字では表せません。落ちてみて体得すべきものです。
  • 回答No.1

微分するというのは、簡単に言えば接線の傾きを求めることです。 導関数というのは、xの値が変化するにつれて 接線の傾きがどのように変化するかを表した関数です。 極限値っていうのは、説明するのが難しいですね。 例えば     x^2-1 y= ------     x-1 なんてのがあったときに、分母が0になってはいけないので、 x=1という値は上の関数には代入してはいけないわけ ...続きを読む
微分するというのは、簡単に言えば接線の傾きを求めることです。

導関数というのは、xの値が変化するにつれて
接線の傾きがどのように変化するかを表した関数です。

極限値っていうのは、説明するのが難しいですね。
例えば
    x^2-1
y= ------
    x-1
なんてのがあったときに、分母が0になってはいけないので、
x=1という値は上の関数には代入してはいけないわけです。
でも、xが1でなければ、分母を因数分解して
    (x-1)(x+1)
y= ----------- = x+1
      x-1
となるので、これは直線になりますね。
つまり、はじめの関数は、基本的には直線なのですが、
x=1のところだけ抜けているグラフ、ということになります。
でも、x=1はダメでも、直線にしか見えないわけですよ。
そこで極限値というのが現れます。
つまり、x=1はダメなんだけど、仮に代入したら、、、
とでも考えれば十分だと思います。
  • 回答No.6
レベル12

ベストアンサー率 48% (325/664)

>さらに限りなく近づけるって >どこまで近づけるのかっていうのがわかりません。 >数では表せないのでしょうか? この部分に限定して回答したいと思います。 …おや、どっかで読んだような…まあいいや。 結論からいうと、「普通の数では表せません」または「必要なだけ近づけます」です。 実は「限りなく近づく」という表現は無限小の数をうまく表せないため生まれた表 ...続きを読む
>さらに限りなく近づけるって
>どこまで近づけるのかっていうのがわかりません。
>数では表せないのでしょうか?

この部分に限定して回答したいと思います。

…おや、どっかで読んだような…まあいいや。

結論からいうと、「普通の数では表せません」または「必要なだけ近づけます」です。

実は「限りなく近づく」という表現は無限小の数をうまく表せないため生まれた表現です。

微積分が誕生したとき、
接線の傾き=Δy/Δx=(f(x+Δx)-f(x))/((x+Δx)-x) (No.2 ymmasayanさんの書き込みより)
のΔxは無限小値にまでなることをイメージしていました。
要するに、すべての正実数rに対して
 0<|Δx|<r
を満たすような数です。しかし、そのような数が実数の中に無いことは、No.4のkony0さんが示したとおりです。
つまり、無限小値に意味を持たせるためには、実数を拡張するしかないのですが、拡張した数に対して加減乗除その他もろもろをやって矛盾が出ないかを明言できなかったんです。
これが、「普通の数では表せません」という意味その1です。

そのため、その代わりに実数の範囲内で限りなく近づけるというアプローチで微積分の理論化が行われました。
その結果、「ε-δ論法」と言うものが誕生しました。

微分で説明すると不必要にややこしくなりますので連続の定義で説明すると、関数f(x)が点aで連続とは…
高校レベル:xをaに限りなく近づけたときのf(x)の値がf(a)と一致する
ε-δ論法:任意のε>0に対してδ>0が存在し、|x-a|<δならば|f(x)-f(a)|<ε
となります。εをどれだけ小さくしてもそれに見合うδがある、というイメージですね。これが、「必要なだけ近づけます」という意味です。

で、先ほど、
>つまり、無限小値に意味を持たせるためには、実数を拡張するしかないのですが、拡張した数に対して加減乗除その他もろもろをやって矛盾が出ないかを明言できなかったんです。
と書きましたが、今はどうかというと…

実は実数の拡張は可能になっております。
超準解析(non-standard analysis)というのがありまして、その理論によると実数に無限小・無限大を追加した「超実数」の存在が示せます。
ただ、そこまで行くのが大変で…
これが、「普通の数では表せません」という意味その2です。
  • 回答No.7
レベル12

ベストアンサー率 48% (325/664)

なんか他の人から突込みがありそうなので補足説明を… >実数に無限小・無限大を追加した「超実数」 この超実数でも、「無限小」「無限大」という数はありません。…その超実数のなかでは。 #以下、普通の実数全体の集合をR、超実数全体の集合をR*と書きます。 すべてのτ∈R*に対してτ<ρとなるρ∈R*はありませんし、 すべてのτ∈R*,τ>0に対して0<ρ<τとなるρ∈R*はありません。 ...続きを読む
なんか他の人から突込みがありそうなので補足説明を…

>実数に無限小・無限大を追加した「超実数」
この超実数でも、「無限小」「無限大」という数はありません。…その超実数のなかでは。

#以下、普通の実数全体の集合をR、超実数全体の集合をR*と書きます。

すべてのτ∈R*に対してτ<ρとなるρ∈R*はありませんし、
すべてのτ∈R*,τ>0に対して0<ρ<τとなるρ∈R*はありません。

あるのは
すべてのt∈Rに対してt<ρとなるρ∈R*,
すべてのt∈R,t>0に対して0<ρ<tとなるρ∈R* …(*)
です。

>関数f(x)が点aで連続とは…
超準解析での定義を示していませんでした。

まず、(*)を満たすρの集合をmonad(0)とし、
 monad(a)≡{ρ∈R*|ρ-a∈monad(0)}
と定義します。
次に、R*上の関係~を以下のように定義します(本当は2重波線なのですが…)。
 ρ~τ ⇔ ρとτは同一のmonadに属する、すなわち、∃π∈R*|ρ,τ∈monad(π)

これで、連続の定義を行うことができます。
超準解析で関数f(x)が点aで連続とは…
a~ρ,a≠ρを満たす任意のρ∈R*に対して、f(a)~f(ρ)
が成り立つこと、と定義されます。
  • 回答No.11
レベル9

ベストアンサー率 28% (16/56)

微分とは、一言で言えば接線の傾斜を求めることです。 でもそんなことをいきなり言われても困りますよね?なので、ゆっくり説明していきます。                   80| 全ての物事は、一部を数字で表すことができます。 |      / そこで、右のグラフのように、ある物事を数字で 50|  ___/ 表してみます。右は、自動車の時間と走行距離の  | / グラフです。縦が走行距離、横が ...続きを読む
微分とは、一言で言えば接線の傾斜を求めることです。
でもそんなことをいきなり言われても困りますよね?なので、ゆっくり説明していきます。                   80|
全ての物事は、一部を数字で表すことができます。 |      /
そこで、右のグラフのように、ある物事を数字で 50|  ___/
表してみます。右は、自動車の時間と走行距離の  | /
グラフです。縦が走行距離、横が時間。スタート  |/
してから1時間後に50km、2時間後は前と変  0+-----------
化なし、3時間後には80km走ったことが、分     1  2  3
かります。また、1時間後から2時間後までの間に、傾きが下がり、そして3時間後までの間に、また傾きが上がったということも分かります。
しかし、分かるのはこれだけではありません。よくみれば、速度も分かります。実際、このグラフは直線ですが、これを曲線と思って下さい。このグラフの単位は時間
ですが、これを分の単位に細かく分けます。さらに細かく分けて、秒単位に分けます。すると、曲線のグラフも、直線のグラフに限りなく近づきます。つまり、曲線のグラフを限りなく近い直線のグラフで表せることになります。しかし、もしあらわせたとしても、ギザギザのグラフになってしまいます。
ここで、接線の考えを導入します。接線とは、一点で接する直線のことです。つまり、ある一点での傾きは、等しいわけなのです。(なぜなら、重なっているから。)
つまり、グラフの接線の傾きを調べるということは、グラフを細かく分けてその傾きを調べるのと同じことなのです。だからこのことが、微分という分析行為なのです。
私は中一なので、難しいことは言えませんが、理解できてくださればうれしいです。
  • 回答No.10
レベル8

ベストアンサー率 33% (10/30)

なんだかエラク難しい話が続いているので簡単な話を1つ。 例えばy=(x+1)(x-1)(x-3)という関数のグラフを考えてみましょう。 以下の話のイメージが湧かない場合実際に方眼紙に書くことをお勧めします。 微分を知らないとすれば正確なグラフは書けないでしょうが 何とかしてグラフを書かなければならないとします。 まずx=...-2,-1,0,1,2,...に対してyの値を求めてxy平 ...続きを読む
なんだかエラク難しい話が続いているので簡単な話を1つ。

例えばy=(x+1)(x-1)(x-3)という関数のグラフを考えてみましょう。
以下の話のイメージが湧かない場合実際に方眼紙に書くことをお勧めします。

微分を知らないとすれば正確なグラフは書けないでしょうが
何とかしてグラフを書かなければならないとします。

まずx=...-2,-1,0,1,2,...に対してyの値を求めてxy平面に点を打ち、
それを直線で結んでみてください。大雑把なグラフの形が分かると思います。
次にxを0.5刻みでyの値を求めて点を打ち、直線で結んでみてください。
さっきよりも本当のグラフに近いグラフが得られます。
ではもっともっと点を増やしたら?
仮にxを1/無限大 刻みで点を取り直線で結んだとしたら?
それはもう本当のグラフと言えるのでは?

ちなみに 1/無限大 刻みで点を取ったときの直線の傾きと言うのが導関数になります。

つまり得体の知れない曲線というものを得体の知れている直線で
近似して考えようとしたとき、近似の精度をめちゃくちゃに高めたら?
というのを考えるのが微分なのです。
  • 回答No.9
レベル13

ベストアンサー率 61% (647/1050)

    微分という概念は、数学的に最初に考えられた時、「微分」に当たる操作を「流量計算」とか云っていました。つまり、流体力学のような分野で考えられたのです。流量とは、何か液体(水など)が流れていて、それが一秒にどのぐらいの分量流れているかというような量のことです。つまり、運動している物体の「速さ」のようなものです。運動している物体は、位置が変わって行きます。どういう風に位置が変わって行くのか、この代わり ...続きを読む
 
  微分という概念は、数学的に最初に考えられた時、「微分」に当たる操作を「流量計算」とか云っていました。つまり、流体力学のような分野で考えられたのです。流量とは、何か液体(水など)が流れていて、それが一秒にどのぐらいの分量流れているかというような量のことです。つまり、運動している物体の「速さ」のようなものです。運動している物体は、位置が変わって行きます。どういう風に位置が変わって行くのか、この代わり具合を、数字で把握しようとするため、工夫されたのが、「微分計算」です。
 
  例えば、一定の速さで運動している物体(自動車など)は、1時間60キロメートルとかいう風に「速さ」を、決まった数字で表現できます。これは、物体の位置を直線の上にあるとして、(つまり物体は、直線に沿って運動しているとして)、この直線に沿って、X軸を考えて、原点をどこかに決め、原点から物体の位置を、xで表すと、xを時間tで微分したものが、「速さ」になるのです。この場合速さ一定なので、xをtで微分すると、一定の数になります。
 
  樹の枝から林檎が落ちてくるような場合、林檎の速さは、実は一定ではないのです。どういう風な数字になるかというと、時間が経つと、段々増えて行くような数字になります。枝から落ちる林檎の運動は、加速度運動をしていると云います。速さが変化しているのです。段々落下速度(速さ)は大きくなって行っているのです。どういう風に大きくなっているか、それを数字できちんと確認するには、やはり、林檎の枝からの位置xを時間tで微分して計算で出さないと分かりません。これは実験により、落下する物体の運動は、その速さをvで表すと、tで微分した値は、係数aに時間tをかけた形になっていることが分かっています。またここから、ある位置xでの速さなども決まってきますし、ある時間t1などで、どの位置にあるかも計算で出てきます。
 
  この加速度が、物体の落下の場合一定というのは、実験で確認されたことです。速さをvで表すと、vが時間tで決まるので、時間の関数であるのです。加速度が一定になるというのは、vをtで微分した値が一定になるということです。vをtで微分するというのは、式で書くと、dv/dtと書きます。これが一定ですから、例えばaだとすると、dv/dt=aとなります。
 
  これが微分ということです。別に数式としては以上の簡単なものだけで十分です。dvとかdtとは何かというのは、それは「微分する」という記号です。vをtで微分する時、記号で、dv/dtと書くのです。これだけです。
 
  貴方のどこまでも近づけるとか云っているのは、関数を微分する場合の具体的な計算方法のことだと思いますが、それは単に技術的な話で、微分とは何か、というのは、上に述べた通りです。位置xとか速さvという変化を表す量があると、それは時間に対する変化なので、ある瞬間、ある特定の時間にはある数字のはずで、これが別の時間では、別の数字になっているということです。ある時刻t1などで、このxやvが、どういう数か、または式かを示すのが、dx/dtやdv/dtです。これを微分と呼ぶのです。
 
  微分の計算は、微分の式がありますから、式を覚えてください。どんな式かというと、例えば、tの二乗つまり、t^2をtで微分すると、2tとなります。a・t^2をtで微分すると、2atとなります。一般に、tのn乗をtで微分すると、つまり、t^nをtで微分すると、n・t^(n-1)になります。もっと色々計算の式があります。
 
  何故、t^2をtで微分すると答えは2tになるのかというのは、それは「微分とは何か」ではなく、「微分の計算はどうするのか」という問いです。
 
  どこまで近づけるのか、というのは、わたしも知りませんし、答えは「限りなく近づける」です。
 
  時間の関数 f(t) がある時、f(t)を時間tで微分するのは、df(t)/dtと書きますが、この式は、lim [dt→0] {(f(t+dt)-f(t))/dt} を略して書いています。
 
  lim [dt→0] は、dt を、どんどんゼロに近づけて行くということで、どこまで近づけるかと云うと、「限りなくゼロに近づける」のです。限りなくとは、どこまでか、というのは誰にも分かりません。分かると云う人もいるかも知れませんが、とりあえず微分の場合は、「限りなくゼロに近づける」ので、どこまで近づけるのかわたしは知りません。「限りなく近づける」のです(つまり、dtはゼロになってはならないのです。ゼロではなく、ゼロに限りなく近づけるのです)。どう近づけるは、普通、数では表せません。
 
  この回答では、分からないというなら、何が分からないか、補足で質問してください。微分とは以上に説明したものですし、微分の計算の細かいテクニックは、とりあえず、「微分とは何か」とはちょっと別の問題です。上の式を言葉で云うと、dtを限りなくゼロに近づけた時、(f(t+dt)-f(t))を dt で割った関数が限りなく近づくある関数の形です。これを、f(t) のtによる微分、あるいは、tによる、f(t)の導関数というのです。
 
  導関数の意味は、いま述べた通りです。そして、極限値とは、dt を限りなくゼロにする時、(f(t+dt)-f(t))を dt で割った関数が、限りなく近づいて行く関数つまり導関数を、この式の極限値と呼ぶのです。「限りなくゼロに近づく」とは、「ゼロになってはならず、しかし、ゼロとdtの差は、限りなくゼロになって行く」ということです。
 
  この限りなくゼロに近づけるというのは、もう少し詳しい言い方がありますが、基本的には「限りなくゼロに近づける」です。数では表現できません。言葉を式に表したものはありますが、その式の意味はと尋ねると、「限りなくゼロに近づける」という意味で、それに、もう少し複雑な条件が付いているだけです。
 
  注) 上では、時間tで微分する場合の話になっていますが、別に時間でなくともよいのです。tではなく、zという量で微分するなら、f(z)という関数の微分は、上で、df(t)/dt と云っているのを、df(z)/dz とするだけです。微分計算は起源的に、時間で微分することから始まったので、時間tで代表的に説明しただけです。
 
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