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アークコサインの積分教えて下さい!

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お礼率 66% (4/6)

∫z*arccos(2z/h)dzがどうしても解けません。
途中経過付きで教えていただけませんか。
宜しくお願いします。
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質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.1
レベル8

ベストアンサー率 45% (14/31)

∫z*arccos(2z/h)dz=∫(0.5z^2)'*arccos(2z/h)dz

=(0.5z^2)arccos(2z/h)ー0.5∫(z^2)(arccos(2z/h)’)dz
  ↑ 部分積分


∫(z^2)(arccos(2z/h)’)dz-------------------------------(1)

一般に
arccos(x)'=-1/((1-x^2)^0.5)-----------------------------(2)

2z/h=t とおくと z=ht/2 、 dz=hdt/2
ゆえに
(1)=∫(h^2/4)t^2*(arccost)'hdt/2
 
 =ー(h^3)/16∫(t^2/((1-t^2)^0.5)dz-------------------(3)

ここで
∫(t^2/((1-t^2)^0.5)dz=ー∫(1-t^2-1)/((1-t^2)^0.5)dz

=ー∫(1ーt^2)^0.5dt+∫dz/((1-t^2)^0.5)

=arcsin(t)-(1/2)*((t*(1ーt^2)^0.5)+arcsin(t)

=(1/2)*((arcsin(t)-(t*(1ーt^2)^0.5))------------------(4)


インテグラルがなくなったから積分完了のはず・・・・・・
一応微分して元に戻ることは手計算で確認したけど、途中から数式表記がめんどくさくなった・・・読む側もめんどいだろうし・・・合ってるかどうかは知らん。
(4)以降は媒介変数tをきちんと戻しといて。
お礼コメント
cibo

お礼率 66% (4/6)

お礼遅くてすいません。
かなり細かくありがとうございました!
もう一回やってみますね。
投稿日時 - 2002-01-22 00:18:12
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