自作問題(図形？)です

質問

自分で考えた問題なんで、解けるかどうかも分かりません

「１辺70cmの正方形の内部(辺上含む)に、50個の点を適当にばらまく。このとき、２点間の距離がαcm以下になるような２点が必ず存在する。」
上記の主張が成り立つようなαの最小値を求めよ。

これの元ネタは、αでなく10√2 という具体的な値で、これが成り立つことを証明せよというものです。
この場合は、正方形を7×7=49個の小正方形に分けると、鳩の巣原理によって明らか、ということでした。
しかし、直感的に、これより小さな値でも成り立ちそうなので、この問題を考えました。
作ったはいいものの、私には解けそうにありません。
誰か代わりに解いてやってくれませんか？
できれば、高校レベルの知識で分かるように説明してほしいと思います。

回答No.6

hidearex

ちょっと内容を端折りすぎました～(^-^;)

＞しかし、直感的に、これより小さな値でも成り立ちそうなので、この問題を考えました。

ということから、最終的にstargazerさんは　10√2＞α となる値があることを
証明したい、ということかと思ってＮＧですと回答したのですが。。。

慣れない分野でたまに回答するとこれだ(;^_^A 　失礼しました。

補足

＞ということから、最終的にstargazerさんは　10√2＞α となる値があることを
＞証明したい、ということかと思ってＮＧですと回答したのですが。。。
私の意図は、その通りです。
少し問題の書き方が悪かったかもしれないので、No.3に補足を書いておきました。
念のため、もう一度別の言葉で言っておくと、
鳩の巣原理での解き方は、分けた小正方形の内部の点にしか目が向けられておらず、他の小正方形にある点との関係が無視されているのが問題なのです。
もし、ある小正方形の内部で距離が10√2になるような２点があるならば、つまりこれは小正方形の対角に一つずつ点があるということです。
この２点を出発点として、他の点との距離が10√2cm以上になるように点をとっていくと、どうしても70×70の中に50個も入らないような気がするのです。
これはつまり、50個の点を詰め込もうとすると、２点間の距離が10√2より小さくなるような２点が必ず存在するということになりませんか？

くどくど書きましたがだんだん自信がなくなってきました。
どこかでとんでもない思い違いをしているかもしれません。
何か気付かれた方は遠慮なくおっしゃってください。