アンペアの法則と境界条件の矛盾？

質問

透磁率μの空間に、断面半径ｒ、長さｌ、巻き数Ｎの円筒ソレノイドがあり、定常電流Ｉが流れています。その端から距離ｘ（＜ｌ）まで、断面半径ｒ、透磁率Μ（＞μ）の円柱形磁性体を挿入したとします。ソレノイド内の空間部分での磁界の強さはｈ、磁性体部分での磁界の強さはＨで、磁界分布は一様、端効果もなし、外部磁界も0とみなせるものとします。
ここで空間部分、磁性体部分にそれぞれアンペアの法則を適応すると、ｈ＝Ｈ＝ＮＩ/ｌの結果が得られるので、磁束密度はｂ＝μｈ、Ｂ＝ΜＨより、ｂ＜Ｂとなります。
一方、境界条件からは磁束密度の法線方向の成分は等しいはずなので、ｂ＝Ｂとなり矛盾が起こります。

この話はどこがおかしいのでしょうか？磁性体を挿入された時の磁界の方向は軸と平行にはならないのではないかとも思ったのですが。

回答No.2

hitokotonusi

#1です。

気になって調べてみたら、

＞空間的に一様を仮定してμを消去してrot H = i になります。

は間違いでした。真空中でμ0のときはこれでいいんですが、磁性体の場合は等価電流imが必要で、

rot B = μ0 ( i + im )

となるらしいです。等価電流 im は磁化 Ｚ (普通はMですが使われてしまったので・・・)と μ0 im = rot Z の関係があるため、Bの中のZと打ち消し合って rot H = i になるそうです。位置に依存しないなら、μ0 も μ も同じだろと長いこと思いこんでいた私が馬鹿でした。

いずれにしても、ご質問のケースは一様な磁界の中に磁性体が置かれた時、磁性体の中と外でＨは同じか否かという問題に他ならないので、答えは“否”であることに間違いはありません。あとは、アンペールの法則の解釈ですが・・・・

ひきつづき、磁性を専門とされる方にフォローを期待します。

回答No.1

hitokotonusi

磁性はあまり詳しくないので、間違っていたらどなたかに補足して欲しいのですが・・・・

まず、そもそもの磁気現象の発端となる法則は、ビオ＝サバールの法則で、これは、電流から磁束密度を導くものです。ここからアンペールの法則が導かれ、それを使ってソレノイド内の磁界の式H=nIが出てきます。ですが、この流れから分かるとおり、本来最初に導かれるのは磁束密度なのであって、H=nIではなく、B=μnIとかくのが本来の形です。が、透磁率が空間的に一様である場合にはB＝μHですから両辺からμが消去されてH=nIになるわけです。したがって、ご質問のケースだと一様ではありませんからｈ＝Ｈが間違っていて、b=Bが正しいということです。

実を言うと、これに関連して自分も昔から疑問に思っていることがあります。というのは、Maxwellの方程式は定常な場合には rot H = i と書かれるのですが、この式を導出する際に最初に出てくるのは rot B = μi なのです。ここから空間的に一様を仮定してμを消去してrot H = i になります。真空ならこれでいいのですが、場所によってμが連続的に変化する磁性体ではちょっとまずいのでは？という気がしているのです。

このあたり、磁性を専門とされる方にフォローしていただけるとありがたいです。

お礼

回答ありがとうございます。
＞空間的に一様を仮定してμを消去してrot H = i になります。
これは初耳でした。もう一度磁界の定義などから勉強しなおす必要があるかもしれません・・。
しかしよく考えてみると、磁束密度に関するアンペアの法則を用いても、ｂ＜＞Ｂが導かれると思うのです。
これは空間的に透磁率が一定である必要はないですよね。
積分路の取りかたに問題があるのかなぁ・・