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δ≡０なんて信じられない！
stomachmanの回答
- stomachman
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どうもご納得戴けないようです。何がいかんのかな？ ●まず (∂/∂x)sgn(x) = 2δ(x) を示しておきましょう。 F(x)をおとなしい関数とします。（「おとなしい」の詳しい定義はさておき、）するてえと ∫(∂/∂x)sgn(x) F(x) dx (x=-∞～∞) =-∫sgn(x) F'(x) dx (x=-∞～∞) =∫F'(x) dx (x=-∞～0) - ∫ F'(x) dx (x=0～∞) =2F(0) て訳です。 ●そして、f(x)のフーリエ変換がF(f)であるとき、(∂/∂x)f(x) のフーリエ変換は2πif F(f) である。ゆえに、sgn(x)のフーリエ変換をS(f)とするとき、2δ(x)のフーリエ変換は2πif S(f)でなくてはならない。形式的には 2πif S(f) = 2 より S(f) = 1/(πif ) となります。しかし、通常の意味ではsgn(x)はフーリエ積分が収束しない。つまりS(f) は超関数であることに注意すべきです。 ●定数倍を無視すれば、Sってのは要するに逆数関数 f(x)=1/x ですが、これはx=0において何が起こるかをきちんと定義しないと超関数として扱うことはできません。単に「x≠0において普通の関数1/xと一致する超関数f(x)」と言ってしまうと、任意の定数Cについて(f(x)+Cδ(x))もまた、そのような性質を持つ超関数です。 ここでf(x)が奇関数であることを要求すると、C=0に決まる。つまり「f(x)はxf(x)=1を満たす奇の超関数と定義する」と言って初めて、「x≠0において普通の関数1/xと一致する超関数のうち、唯一の奇超関数であるf(x)」が決まったことになります。 この手続きをしないで単に「S(f) はf≠0において1/(πif )と一致する超関数」と考えると、S(-x) のフーリエ変換はsgn(f)にはならず、sgn(x)+Cになる。任意定数Cを含んでしまいます。 ●ご質問のヘビサイド関数h(t)はまさにその形、 h(t)=sgn(t)/2+1/2 をしています。ですからそのフーリエ変換は、S(f)を「f≠0において1/(πif )と一致する奇超関数」とするとき H0(f)=S(f)/2+δ(f)/2 と書ける。 くどいようですが、これをもし「S(f) はf≠0において1/(πif )と一致する適当な超関数」と考えると、 H0(f)=S(f)/2+Cδ(f) (Cは任意定数） となります。 ●要するに、超関数を（他のおとなしい関数との積の積分という形ではなく）直に扱おうとする場合には、出てくる関数（特に特異点を持つ関数）をみんな超関数と読み替え、矛盾のないように定義しなおしてやる必要があるんです。別のご質問で仰ってる「ふるい法」の手続きですね。（で、これで全てすんなり行くかというと、実はそうでもない。例えば1/|x|なんてのは、どうしても任意定数を含んだ形でしか定義できないやっかいな超関数です。） 下記URLはnuubouさんには物足りないかもしれませんが、多少ともご参考になるやも。
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