δ≡０なんて信じられない！

質問

ｈ（ｔ）＝０（ｔ＜０），ｈ（０）＝０．５，ｈ（ｔ）＝１（０＜ｔ），
Ｈ０（ｆ）＝∫ｄｔ・ｅｘｐ（－ｉ・２・π・ｆ・ｔ）・ｈ（ｔ），
Ｈ１（ｓ）＝∫ｄｔ・ｅｘｐ（－ｓ・ｔ）・ｈ（ｔ），
としたとき
Ｈ１（ｓ）＝１／ｓだからＨ０（ｆ）＝１／（ｉ・２・π・ｆ）としている岩波本がありましたがそうすると
δ（ｆ）
＝∫ｄｔ・ｅｘｐ（－ｉ・２・π・ｆ・ｔ）
＝∫ｄｔ・ｅｘｐ（－ｉ・２・π・ｆ・ｔ）・（ｈ（ｔ）＋ｈ（－ｔ））
＝∫ｄｔ・（ｅｘｐ（－ｉ・２・π・ｆ・ｔ）＋ｅｘｐ（ｉ・２・π・ｆ・ｔ））・ｈ（ｔ）
＝Ｈ０（ｆ）＋Ｈ０（－ｆ）＝１／（ｉ・２・π・ｆ）－１／（ｉ・２・π・ｆ）
＝０

そこで質問します
（１）Ｈ０（ｆ）＝１／（ｉ・２・π・ｆ）ですか？
そうでなければ
（２）Ｈ０（ｆ）はどのような式で表現できますか？

「１はｈが２個分」だからフーリエ変換でいえば「δはＨ０が２個分」だから
Ｈ０（ｆ）＝δ（ｆ）／２というわけにはいかないんでしょうね

回答No.1

stomachman · ベストアンサー

超関数ってのは、躓くとやっかいなもんですね。

h(t)はヘビサイド関数、
すなわち
h(t)=∫dsδ(s) (s=-∞～t)
であり、
> Ｈ０（ｆ）＝∫ｄｔ・ｅｘｐ（－ｉ・２・π・ｆ・ｔ）・ｈ（ｔ）
はそのフーリエ変換で、積分は-∞～∞の定積分ですね。
符号関数sgn(x) を
sgn(x) = if x>0 then 1 elseif x<0 then -1 else 0.
としますと
h(t) = 1/2(1+sgn(x))
です。1のフーリエ変換はδ(f), sgn(x)のフーリエ変換は1/(πi f)であり、
H0(f) = (1/2)δ(f) + 1/(2πi f)
となります。0でのわり算は通常の意味では定義されないことに注意すれば、この右辺は、f≠0の時には第１項(1/2)δ(f) はいつも0です。逆にf=0なら第２項 1/(2πi f)は通常の関数としては定義されません。ですから f≠0であれば至る所、通常の関数1/(2πi f) と一致する。つまり
∀f（f≠0→H0(f) = 1/(2πi f) )
というのなら文句はありません。これをf=0の場合にまで拡張したとき、話がおかしくなる。
H0(f)は何かおとなしい関数と積を作って積分したときだけ意味をもつ積分核、或いは演算子、要するに超関数そのものであることがここに現れています。

かくて、
> δ（ｆ）
> ＝∫ｄｔ・ｅｘｐ（－ｉ・２・π・ｆ・ｔ）
> ＝∫ｄｔ・ｅｘｐ（－ｉ・２・π・ｆ・ｔ）・（ｈ（ｔ）＋ｈ（－ｔ））
> ＝∫ｄｔ・（ｅｘｐ（－ｉ・２・π・ｆ・ｔ）＋ｅｘｐ（ｉ・２・π・ｆ・ｔ））・ｈ（ｔ）
＝Ｈ０（ｆ）＋Ｈ０（－ｆ）
ここまではオッケーですが、以下は（f≠0）のときにだけ成り立つことに注意が必要です。

> ＝１／（ｉ・２・π・ｆ）－１／（ｉ・２・π・ｆ）
> ＝０　

つまり、この計算は
∀f (f≠0 → δ（ｆ）= 0 )
を示している訳で、これ自体なんら問題ありません。