- ベストアンサー
ベクトル:ΔABCの外心Oを・・・
授業の問題演習で先生が出題したのですが、先生が問題の出典を忘れてしまい、授業中にみんなで解いたのですが、誰も答えまでたどりつけませんでした。(先生もです…。) 自分でもう1回解いてみたんですが、やっぱり答えまでたどりつけません。 どうか考え方を教えてください。 ------------------------ 問. 三角形ABCの3辺の長さは、AB=6,BC=2√13,CA=8である。 ベクトルAB=ベクトルb,ベクトルAC=ベクトルc とおくとき、内積 ベクトルb・ベクトルc の値を求めよ。 また、三角形ABCの外心Oとして、ベクトルAOをベクトルb,ベクトルcを使って表せ。 ------------------------ 【途中までの解】 内積は24とでました。(余弦定理から∠A=60°。内積の公式から6×8×1/2=24) ここからがわかりません。 とりあえず外接円の半径Rを正弦定理から求め、 R=2√39/3 という値が出ました(←この値はあっていますか?) つまり、|ベクトルAO|=|ベクトルBO|=|ベクトルCO|=R ということになりますよね? ここからいろいろなやり方を試行錯誤しているのですが、どれも答えまではたどりつけません。 最初に思いついたのは、 ベクトルAO=ベクトルAB+ベクトルBO また、ベクトルAO=ベクトルAC+ベクトルCO のようにベクトルAOをいろいろなベクトルで表現して最後に係数比較するやりかたでした・・・・。 なにか別の方法はありますか?それともこのまま工夫すれば答えまで行けるのでしょうか?? よろしくお願いします。
- umopapisdn
- お礼率33% (3/9)
- 数学・算数
- 回答数2
- ありがとう数4
- みんなの回答 (2)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
外心をOとすると、 AO=sAB+tAC(s,tは実数)と表せる。 Oを通り直線ABと直交する直線はABの中点を通るので {AO-(1/2)AB}⊥AB よって [{s-(1/2)}AB+tAC]・AB=0 {s-(1/2)}|AB|^2+tAB・AC=0 AB=6 AB・AC=c・b=24 36{s-(1/2)}+24t=0 36s+24t=18 6s+4t=3 これを同様にACでもやると {AO-(1/2)AC}⊥AC よって {t-(1/2)}|AC|^2+sAB・AC=0 AC=8 AB・AC=c・b=24 64{t-(1/2)}+24s=0 24s+64t=32 6s+16t=8 よって12t=5 t=5/12 s=2/9 AO=(2/9)AB+(5/12)AC =(2/9)b+(5/12)c たぶんこんな感じ。
その他の回答 (1)
- パんだ パンだ(@Josquin)
- ベストアンサー率30% (771/2492)
計算が結構面倒ですが、 AO = tb + sc などと置いてやれば、 |AO|^2 = |BO|^2 = |CO|^2 から求まります。
補足
すばやい回答ありがとうございます! まず、AO = tb + sc の両辺を2乗して、式を変形してみたら、sとtの2次方程式(?)になりましたが、ここで行き詰まってしまいました。。。
関連するQ&A
- ベクトルの内積の問題です。
解き方が分からないので、考え方だけでも教えていただけないでしょうか。宜しくお願いします。 「三角形ABCにおいて、AB=2、AC=3、BC=√7、ベクトルAB=ベクトルb、ベクトルAC=ベクトルcとする。このとき、三角形ABCの外心をOとして、ベクトルAOをベクトルbとベクトルcを用いて表せ。」
- ベストアンサー
- 数学・算数
- △ABCの外心Oが三角形の内部にあるとする
α、β、γはα→OA(OAベクトル)+β→OB+γ→OC=→0を満たす正の数とする また直前OA、OB、OCがそれぞれ辺BC、CA、ABと交わる点をA´、B´、C´とする (1)→OAとαとβとγを使って→OA´を表せ (2)△A´B´C´の外心がOに一致すればα=β=γであることを示せ Aを始点とすると α→OA+β→OB+γ→OC=→0 -α→AO+β(→AB-→AO)+γ(→AC-→AO)=→0 -(α+β+γ)→AO+β→AB+γ→AC=→0 (α+β+γ)→AO=β→AB+γ→AC α、β、γが正よりα+β+γ≠0 よって →AO=β→AB/(α+β+γ)+γ→AC/(α+β+γ) →OA=-β→AB/(α+β+γ)-γ→AC/(α+β+γ) これ以降が分からないので、解き方を教えてほしいです お願いします
- 締切済み
- 数学・算数
- ベクトルについての質問です。問題で、「?ABCにおいて、B=45°C=
ベクトルについての質問です。問題で、「?ABCにおいて、B=45°C=30°AB=3√2 AC=6である。 内積 ABベクトル・BCベクトル、BCベクトル・CAベクトルを求めよ。」という問題なのですがまったくわかりません!教えてください!
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 正四面体 重心 ベクトル
1辺の長さが2の正四面体ABCDがある。Gを△BCDの重心、Hを△ACDの重心とし、直線AGとBHの交点をOとする。 (1)ベクトルAOをベクトルAB,AC、ADを用いて表せ (2)AO+BO+CO+DO(ベクトル)を求めよ。 (3)点Pがこの四面体の面上を動くときAP^2+BP^2+CP^2+DP^2のとりうる値の範囲を求めよ この問題に取り組んでいます (1)はベクトルAO=1/4(AB+AC+AD) (2)は0 となりました(自信なしです) (3)がどのように考えればいいのかわからなくて困ってます。 AP^2+BP^2+CP^2+DP^2という長さが最大になるときと最小になるときはどのようなときなのでしょうか? 回答いただければありがたいです。 よろしくお願いします
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ベクトルの問題を教えてください。
ベクトルの問題を教えてください。 1、三角形ABCの各辺の辺AB↑をベクトルc、辺BC↑をベクトルa、辺AC↑をベクトルb、辺ACと辺BCのなす角をθとする。 (1)cをaとbによりベクトルの式を用いて表せ。 (2)ベクトルの内積を用いて三角形に関する余弦公式 c=√a^2+b^2-2ab*cosθを導け。(ヒント:ベクトルcについて同じベクトルどうしの内積を計算してみよ。) 2、スカラー界ψ=4xz^3-3x^2について (1)点(x,y,z)におけるψの傾き(勾配)を求めよ (2)点(2,-1,2)における傾きを求めよ (3)点(2,-1,2)における単位ベクトルu=1/7(2i-3j+6k)に対する方向微係数をもとめよ
- 締切済み
- 数学・算数
お礼
外心の定義を使うんですね。 やってみたらご回答通りの答えになりました。 半径の大きさにこだわってしまったので、せっかく内積=0の式を立てていたのに、気付かなかった自分が悔しいです。。。 詳しい解説ありがとうございました!