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「n! は平方数にならない」？
以前，大学の入試問題で（どこ大学かは失念しました）， 「1 から 10 までの自然数を 2 グループに分け，それぞれ積をとる。このとき 2 つの積が一致することはあるか」 というものがありました。 答えは「ない」で，それは 10! が平方数にならない，ということなのですが，ポイントとしては，「10 までの自然数の中には 7 の倍数は 1 つしかないから，2 つのグループの一方は 7 の倍数で，他方は 7 の倍数でない，だから一致しえない」ということでした。 そこで疑問なのは，これは一般の 2 以上の自然数 n について，n! は平方数にならないのか，ということです。 これは，【n/2 から n までの間に素数が必ず存在する】ことが証明できればよくて，実際そうであって，「n! は平方数にならない」は真とのことでした。 ところがこの【 】の部分の証明が，簡単に流されているものが多くて，釈然としません。 この証明の全容がわかる文献か，または証明のポイントをご教示願えますか。
- elttac
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質問者が選んだベストアンサー
実は以下の性質があります(この証明のポイントともいえるもの)。 mを1以上の自然数とするとm＜p≦2mを満たす素数がpが必ず存在する。・・・※ これは、質問文中の，【n/2 から n までの間に素数が必ず存在する】を少し言い換えたものです。 ※はベルトランの仮説ともチェビシェフの定理とも呼ばれ、証明は意外と大変です。 この定理の証明があるPDFを載せて置きます。
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- tatsumi01
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質問は【n/2 から n までの間に素数が必ず存在する】ことが証明できるか、ですね。 そう簡単には証明できないと思います。自然数 n 以下の素数の個数をπ(n) と書くと、ガウスの素数定理 π(n) ～ n/log(n): log は自然対数 が成立しますが、これから [n/2, n] に素数があるとは確言できないような気がします。
お礼
ご回答ありがとうございます。 No. 3 のご回答で【n/2 から n までの間に素数が必ず存在する】証明をご紹介いただけました。
- yusuke7771
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1からn/2までに素数pがあったとしても、その場合はn/2からnの間に必ず2pが存在しますから、2グループに分けた時に積を一致させることができます。 しかしn/2からnにおいて素数qがあれば、1からnの範囲で素因数qを持つ自然数はありませんね（素因数qをもつ自然数とはq,2q,3q・・・なので2qの時点でnを超える自然数だからです）。だから2グループに分けれません。
補足
答えは「ない」でよさそうなのですが，問題は， 【n/2 から n に素数は必ずあるか】 ということなのです。この証明をご存じでしたらご教示ください。
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お礼
ご回答ありがとうございます。 PDF を拝見しましたが，なるほど大変な証明です。じっくり理解したいと思います。