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平方数でない自然数の数列

自然数の数列 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ,,, から 平方数の数列 1 4 9 16 ,,, を取り除くと、 平方数でない自然数の数列 2 3 5 6 7 8 10 11 12 13 14 15 17 ,,, が得られますが、その一般項a[n]は、 a[n] = n + [1/2 + √n] または a[n] = n + [ √( n + [ √n ] ) ] と表されるそうなのですが、どうのように求めればよいのでしょうか？

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  • ベストアンサー
  • banakona
  • ベストアンサー率45% (222/489)
回答No.1

まず後者から。 単純に考えると、自然数の数列　ｂ[ｎ]＝ｎ に[√ｎ]というゲタを履かせて　　ａ~[ｎ]＝ｎ＋[√ｎ] とすればよさそうです。ところが、この数列ａ~[ｎ]自体が平方数になってしまうことがあるので、 ａ~[ｎ]をゲタとするものをもう一度はかせて　a[n] = n + [ √( n + [ √n ] ) ]　　・・・★ 次に前者 ★の外側の[ ]内を　√(n + [√n] )＝√n √( １+ [√n]／ｎ ) と変形。これをテーラー展開すると　√ n √(１+ [√n]／ｎ)＝√ n (１+ [√n]／ｎ／２＋・・・) 　　　　　　　　＝√ n + [ √n ]／√ｎ／２＋・・・) 実際には、これの外側に[ ]が付くので、整数にならない部分は無視してよい。 また、０＜[√n ]／√ｎ≦１であるから[√n ]／√ｎを１に置き換えても、[ ]を付ければ最終値に影響はない。 　∴ａ[n] = n + ［√ n + １／２］ あとは★が平方数にならないことが言えればいいんだけど・・・

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