双曲線ｘｙ＝a ＞＿＜！！？？

質問

双曲線ｘｙ＝a（a>0)の接線がｘ軸、ｙ軸と交わる点をＡ．Ｂとするとき、三角形ＯＡＢの面積は一定であることをしめせ。

この問題わかりません＞＿＜！！
双曲線ｘｙ＝aと書いてありますけど、双曲線ってｘｙ＝aなんてあるんですか？？？ｘｙ＝aを変形してもｙ＝a/xなので、双曲線の式に見えません＞＿＜？

私の知ってる双曲線は
ｘ＾2/a＾２ - y＾２/b＾２ =1　で焦点を求める時は
ｃ＝√（a＾２＋ｂ＾２）だと習ったのですけど。。。

あと双曲線の図を試しに描いてみて
”接線”と題意に書いてあるので、接するだけの線を
引いてみたのですけど、その時、”双曲線”って右と左に二つの凸放物線が向き合ってると思うのですけど
右と左、どっちに接する線を描けばよいのですか？？
両方接する線は書けないとおもうのですけど。。？？

誰か教えてください、お願いします＞＿＜！！

回答No.4

debut · ベストアンサー

＞ここで言う、ｘ＝ｘcos45°ってなんですか？！
　　１次変換とか写像という分野は習ったのでしょうか？
　　一般に、ｘｙ平面上で、任意の点Ｐ（ｘ、ｙ）をθだけ原点Ｏの回りに
　　回転移動して点Ｐ'（ｘ'、ｙ'）に移す変換は
　　　ｘ'＝ｘcosθ－ｙsinθ
　　　ｙ'＝ｘsinθ＋ｙcosθ　　　で表されます。

＞途中式が抜けててどうして、こうなったのかわからないのでおしえてく
＞れませんか？
　　式（ｘcos45°－ysin45°）（ｘsin45°＋ycos45°）＝ａ
　　で、sin45°＝cos45°＝1/√2　ですからこの式は
　　（ｘ/√２－ｙ/√２)(ｘ/√２＋ｙ/√２）で、それぞれの( )から
　　１/√２を共通因数としてくくり出せば、
　　(１/√２)×(１/√２)(ｘ－ｙ)(ｘ＋ｙ)＝ａ　で
　　(１/２)(ｘ－ｙ)(ｘ＋ｙ)＝ａ　で
　　(ｘ－ｙ)(ｘ＋ｙ)＝２ａ　となります。

お礼

いつも返事を書いていただいて、ありがとうございます=..=

回答No.3

oyaoya65

x^/a^2 - y^2/b^2 =1
でb=aの場合
(x/a)^2 - (y/a)^2 =1...(1)
{(x/a) - (y/a)}{(x/a) + (y/a)}=1....(1')

X=(x/√2) - (y/√2),Y=(x/√2) + (y/√2)...(2)
または
X=(x/√2) + (y/√2),Y=(x/√2) - (y/√2)...(2')
という変換を行えば(1)は
(2/a^2)XY=1
つまり
XY=(a^2)/2 ... (3)
はXY座標では反比例曲線になります。
ここで(2)または(2')の座標変換はxy座標系の座標軸を±π/4[rad]=±45°回転したするとXY座標系になる式ですね。

(3)の(X,Y)座標を一般座標に直せば
xy=(a^2)/2
という反比例曲線でこれを右または左に45°回転した曲線が(1)の直角双曲線（漸近線が直交する双曲線）ということです。

＞右と左、どっちに接する線を描けばよいのですか？？
両方接する線は書けないとおもうのですけど。。？？

どちらか一方に接する接線ですね。

【ヒント】
接線を
x/p+y/q=1...(4)
とおけば、p,qはx切片,y切片となりますね。
第一象限に接点を持つ接線の場合はp>0,q>0
第一象限に接点を持つ接線の場合はp<0,q<0
となるだけで三角形OABの面積Sは
S=pq/2または(-p)(-q)/2
でいずれでもS=pq/2になりますね。
つまり
pq=一定
を示せばいいことになります。

(4)からのyを
xy=a ...(5)
に代入した2次方程式が(4)と(5)が接するという条件から重根を持つ条件
判別式D=0
を求めるとpq≠0から
pqとaの関係が出て来ます。
これから
S=pq/2=?a
が出て来ます。

後はご自分でやってみて？を求めてみてください。

お礼

返事書いていただいて、本当にどうもありがとうございました！！=..=

回答No.2

debut

＞双曲線ってｘｙ＝aなんてあるんですか？？？
　　これは、中学校のときに習った反比例のグラフです。

で、接線は一方の曲線で考えます。（第一象限でみてみます）

接線がｘ軸と交わる点Ａを（ｍ、０）、ｙ軸と交わる点Ｂを（０、ｎ）と
すると、△ＯＡＢの面積は、底辺×高さ×1/2で　(ｍｎ)/２・・（１）
接線の方程式はｍを正とすると、ｙ＝－(ｎ/ｍ)ｘ＋ｎとなり、これが
ｘｙ＝ａに接するので、２つの式からｙを消去した式
　－(ｎ/ｍ)ｘ^2＋ｎｘ－ａ＝０　が重解を持つので、判別式＝０
つまり、ｎ^2－４ａ×(ｎ/ｍ)＝０　で、これをａについて解くと、
　ａ＝(ｍｎ)/４　・・（２）
（１）と（２）式をうまく処理すれば、解答が得られるでしょう。
また、第三象限における場合も確かめてみてください。

補足

反比例の式だとわかったのですけど、調べたら
「反比例を－４５°回転させたとき、
　ｘ＝ｘcos45°－ysin45°
　ｙ＝ｘsin45°＋ycos45°を、
ｘｙ＝ａ に代入して、
（ｘcos45°－ysin45°）（ｘsin45°＋ycos45°）＝ａ
（ｘ－ｙ）（ｘ＋ｙ）＝２ａ
ｘ2/２ａ－ｙ2/２ａ＝１
となり、双曲線の式と一致します。」

って見つけたのですけど。。。
ここで言う、ｘ＝ｘcos45°ってなんですか？！
４５℃は回転させたからだと４５℃は意味が解るんですけど、どうしてｘコサイン４５℃＋ｙコサイン４５℃という式なんですか？
あと、上の式の計算けっかは、
（ｘ－ｙ）（ｘ＋ｙ）＝２aと
途中式が抜けててどうして、こうなったのかわからないのでおしえてくれませんか？=..=

回答No.1

Mathematica

ｘｙ＝aは双曲線ではなく、反比例の式ですが、－45°回転させると双曲線になります。

お願いします＞＿＜！！

この表示は見飽きたな～！！

お礼

ハイ、ごめんなさい-_-