• 締切済み

積分について

∫(dx/sinx+cosx)はtan(2/x)=tとおいてやる方法以外ありますか？もっと簡単にできるの教えてください！

みんなの回答

  • oyaoya65
  • ベストアンサー率48% (846/1728)
回答No.1

＞∫(dx/sinx+cosx)は 括弧を正確に付けてください。 ∫dx/(sinx+cosx) で正しいですか？ ＞tan(2/x)=t これはtan(x/2)=t の間違いではないですか。 上の修正が正しいとして回答します。 (sin x)+(cos x)=(√2)cos(x-Pi/4) ですので、 t=tan{(x-(π/4))/2} とおけば良いですね。 複雑なら,2回に分けて変数変換すると間違いが少ないかも知れませんね。 最初に u=x-π/4と変数変換し、更に t=tan(u/2) と変数変換すれば良いですね。

全文を見る
すると、全ての回答が全文表示されます。
  1. カテゴリ
  2. 学問・教育
  3. 数学・算数

関連するQ&A

  • 積分

    ∫dx/(sinx+cosx) この問題なんですが tan(x/2)=tとおいて cosx=(1-t^2)/(1+t^2) sinx=2t/(1+t^2) dx=2dt/(1+t^2) ・・・・ とやるそうなんですが、cosxとsinxはどうやって あんな形にするんでしょうか？

  • 積分

    ∫dx/(sinx+cosx) この問題なんですが tan(x/2)=tとおいて cosx=(1-t^2)/(1+t^2) sinx=2t/(1+t^2) dx=2dt/(1+t^2) ・・・・ ・・・・ のdxはどうやったらでるんでしょうか？

  • 積分問題

    A=∫[0→π/2](sin^3x)/(sinx+cosx)dx B=∫[0→π/2](cos^3x)/(sinx+cosx)dx (1)A+Bを計算せよ。 (2)AとBが等しいことを示せ。 (3)Aの値を求めよ。 (1)A+B=∫[0→π/2]{(sin^3x)+(cos^3x)}/(sinx+cosx)dx =∫[0→π/2](1+sinx+cosx)/(sinx+cosx)dx =∫[0→π/2][{1/(sinx+cosx)}+1]dx =∫[0→π/2][{1/√2sin(x+π/4)}+1]dx =[0→π/2][1/{√2log tan(x/2-π/8)}+1]dx =1/{√2log tan(π/8)} + π/2 - 1/{√2log tan(-π/8)} =(2/√2)log tan(π/8) + π/2 になったのですがこのような方法でよろしいのでしょうか？ (2)に関しては、どのようにして行ってよいのかわかりません。 (3)もどうようにわかりません。 教えて頂けないでしょうか？ よろしくお願い致します。

  • 三角関数の置換積分

    1) ∫1 / (2 + sinx)dx 2) ∫1 / (2√2 + sinx + cosx)dx この2問がわかりません。 1)は、t=tan(x/2)とおくと、 　sinx = 2t / (1 + t^2) 、 dx = 2 / (1 + t^2)dt となり、これを代入して変形すると、 　∫1 / (t^2 + t + 1)dt となるのですが、このあとどうすればいいのかわかりません。 よろしくお願いします。

  • この積分の問題教えてください

    この問題の答えが無いので教えてください。 自分なりに解いたのですが、合ってるでしょうか？ ∫[0,π/2]　1 / sinx+cosx dx tan(x/2)=t　とおくと、 dx=2/(1+t^2) dt cosx=(1-t^2)/(1+t^2) sinx=2t/(1+t^2) となる。 置換した後の積分範囲は、 x｜0→π/2 t｜0→ 1 ∫[0,π/2]　1 / sinx+cosx dx = -2∫[0,1]　1 / t^2-2t-1 dx 　　分母を平方完成して = -2∫[0,1]　1 / (t-1)^2-2 dx 　公式：∫[1 / x^2-a^2] = 1/2a log｜x-a/x+a｜なので =1/√2 log｜(-√2-1) / (√2-1)｜ logの中が汚いかんじで合ってるか不安です。 教えてください。

  • 積分

    微分について誰か教えてください。 できれば、チョー詳しく。 （１） 　π/3 ∫ [｛sinＸ・(cosX)＾2｝/(1＋cos) ]dx 　　0 cosX=tとおくと、dt/dx=-sinXまでしかわかりません。 (2) ∫ ｛dx/(x＾2‐2ｘ－3）｝ 　 1/(ｘ＾2-2x-3)=1/(x＋1)(ｘ－3） までしかわかりません。

  • 定積分の問題

    （0→π/2）∫1/sinx+cosx　の積分をお願いします。t=tan(x/2)からsinx=2t/1+t^2,cosx=1-t^2/1+t^2を使うやり方でお願いいたします。

  • 積分がわかりません

    いくつかわからないので教えていただきたいです。∫は省略します。 まずlog(1+√x)dxですが、t=√xと置換してdx=2tdtとなり 2tlog(1+t)dtとなります。しかしここからのやり方がわかりません。 次にcos^3xsin^2xdxですが、部分積分を使ってやってみたのですがどうもうまくいきません・・・しかし部分積分を使うのは間違いなさそうなんです。 次に(1/(x^3-x))dxですが、この式は1/x(1-x)(1+x)に変形できます。 分母が２つの掛け算ならば部分分数にできるのですが３つの掛け算なのでどうしたらいいのかわかりません。 次に(x/(x^3+1))dxですが、この式をx/(x+1)(x^2-x+1)と変形したあとのやり方がわかりません。 最後に、これが一番聞きたいことなんですが (1/cosx)dxの積分です。 分子分母にcosxを掛けてcosx/cos^2xとします。 sinx=tとおくと、dx=dt/cosxとなり、最初の式はdt/(1-t^2)になります。 部分分数にして1/2∫(1/(1+t)+1/(1-t))dtになります。 よって1/2(log|1+t|-log|1-t|)=1/2log|(1+sinx)/(1-sinx)|になりますよね？？ でも、解答にはlog|(1+sinx)/cosx|って書いてあるんです。 どこが間違ってるのかわかりません。 以上長いですが教えていただけたら幸いです。

  • 三角関数の積分

    1/三角関数　の積分は必ずできると聞いたのですが、本当でしょうか。 例えば　1/sinx　です。 ∫1/sinxdx　を試してみたのですが、うまくできませんでした。 ∫sinx/sin^2xdx　とし、　∫sinx/(1-cos^2x)dx　 cosx=tとおく。　dx = -1/sinx 与式 = -∫1/(1-t^2)dt = -(1/2)∫{(1/1+t)+(1/1-t)}dt = log|sinx| + C　となりました。 しかし、これを微分しても与式になりません。 どこか間違っているのでしょうか。 答えでは、log|tan1/2|　となっていたと思います。 あと、 ∫1/cosxdx　と　∫1/tanxdx　も答えだけでも良いので教えていただきたいです。

  • 置換積分

    tan(x/2)=uとして、 (1)I=∫1/(2+cosx) dx (2)I=∫1/(3sinx+4cosx+5) dx という問題がありまして・・・・ 教えていただけませんか？ または置換積分を説明しているページでもいいので・・・・

注目のQ&A

カテゴリ

専門家に質問してみよう

職業から探して質問する

あなたにピッタリな商品が見つかる！ OKWAVEセレクト

質問する