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関数の連続の問題

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お礼率 52% (89/171)

次の方程式の実数解は、どんな連続2整数の間にあるか?

(1)X^3 + X^2 - 2x - 1 = 0

(2)2x^3 - x^2 - 4x + 2 = 0

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

(1)

ともに式をf(x)とおいて、
f(-2)<0 、 f(-1)>0 、 f(0)<0 、 f(1)<0 、 f(2)>0 より

解は-2と-1、-1と0、1と2の間にあることはわかるんですが、

f(x) のxに代入する整数を一体どうやって決めるのでしょうか?
例えば、答えは「10000と10001の間」かもしれないじゃないですか。
適当に当てはめていたら答えを出すのに何時間かかるかワカラナイじゃないですか。

(2)の場合も同様です。ちなみに解答は
-2と-1、0と1、1の2 の間です。
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質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.3
レベル14

ベストアンサー率 57% (1014/1775)

> (1)X^3 + X^2 - 2x - 1 = 0
X^3 + X^2 - 2X - 1 = 0
の間違いではないかと思います。

kony0さんと同意見です。
でももうちょっと具体的にやってみましょう。

3次方程式ですから、最小1個、最大3個の実解を持ちますね。もし解が2個なら、その一方は重解です。
F(X)= X^3 + X^2 - 2X - 1
をXで微分してみると
F'(X)=3X^2+2X-2
ですから、極値はF'(X)=0と置くことで
X=(-1±√7)/3
にあることが分かり、極値は
F((-1+√7)/3)=-7(2√7+1)/27 <0
F((-1-√7)/3)=7(2√7-1)/27>0
です。
 つまり解は3個あり、さらに
(-1-√7)/3<X<(-1+√7)/3
の範囲に1個の解が存在することは確実です。しかもこの解は、3個の解のうち最大のものでも最小のものでもない。3つの解を小さい順に並べたとき、2番目の解あることは自明でしょう。
「連続2整数の間にあるか」という設問なんですから、この範囲(-1-√7)/3<X<(-1+√7)/3の近くの様子を調べれば良いことが分かる。

(2)2x^3 - x^2 - 4x + 2 = 0
も同様で、解は3個あり、
-1<x<2/3
の範囲に(小さい順で)2番目の解があることが分かります。
お礼コメント
emuyu

お礼率 52% (89/171)

詳しい解説ありがとうございます。
うーんと、とりあえずわかったようなわからんようなです・・・
けど、2番目の解の範囲からだいたいわかるってことですね!

ありがとうございました
投稿日時 - 2001-12-14 00:03:55
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  • 回答No.1
レベル11

ベストアンサー率 36% (175/474)

この問題をやるからには、微分を知っていて、グラフくらいはかけるはずです。(微分を知らない、グラフをかけない人にこの問題を出すのは酷じゃないかなぁ。) グラフをかけるのなら、ある程度のめぼしを「感覚的には」つかめるはずで、 「10000と10001の間にあるかも?」という疑問は出ないはずです。 また微分すれば、x>(1+√7)/3=1.1…では単調増加なんだから、f((1+√7)/3)(極小点) ...続きを読む
この問題をやるからには、微分を知っていて、グラフくらいはかけるはずです。(微分を知らない、グラフをかけない人にこの問題を出すのは酷じゃないかなぁ。)
グラフをかけるのなら、ある程度のめぼしを「感覚的には」つかめるはずで、
「10000と10001の間にあるかも?」という疑問は出ないはずです。
また微分すれば、x>(1+√7)/3=1.1…では単調増加なんだから、f((1+√7)/3)(極小点)がどれくらいの値になるのか計算したり(少なくとも正負くらいは)するはずなので、そのあたりから、だいぶん限定されてくるのではないでしょうか?
もっとも、1と2の間なのか、2と3の間なのか・・・は試行錯誤の世界ですが、いずれにせよ「何時間も」かかる類ではないはずです。

あっ、もちろんですが、x>(1+√7)/3では単調増加という情報を(微分の結果)わかっているからこそ、f(2)>0を確認した時点で、f(x)>0 for all x>2が言える、すなわち2より大きいxに対する関数値を確認する必要がないことが言えるわけで、微分を知らなければ、そこは確証は得られませんね。
お礼コメント
emuyu

お礼率 52% (89/171)

あまりに遅すぎるお礼で申し訳ありません。
その日からテスト週間だったもので・・・・

とりあえず、試行錯誤みたいですね。ありがとうございました
投稿日時 - 2001-12-13 23:59:35

  • 回答No.2
レベル14

ベストアンサー率 31% (726/2280)

それぞれの式を微分すると (1)f(x)’=3x^2+2x-2 (2)f(x)’=6x^2-2x-4 f(x)’=0のときグラフの頂点ですので それぞれの2つの解を求めてその前後の整数をf(x)に代入してf(x)が0より大か小でxを求めればよろしいのではないでしょうか。 ...続きを読む
それぞれの式を微分すると
(1)f(x)’=3x^2+2x-2
(2)f(x)’=6x^2-2x-4
f(x)’=0のときグラフの頂点ですので
それぞれの2つの解を求めてその前後の整数をf(x)に代入してf(x)が0より大か小でxを求めればよろしいのではないでしょうか。
お礼コメント
emuyu

お礼率 52% (89/171)

うーん、それではできない気がするんです・・・
回答ありがとうございました!
投稿日時 - 2001-12-14 00:04:53
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