静電場のエネルギーの導出

質問

大学の一回生です。電磁気学を習い始めたところですが、静電気エネルギーのところで、電場の値がE(r)で与えられる点の近傍では、(ε/2)E^2で静電気エネルギーが蓄えられると習いました。が、その際教科書には導出が載っていなかったため何故そうなるのか理解できません。
また、たとえば空間の各点r_iに点電荷q_iがN個あったとしたら、この系の静電気エネルギーはどうしたら求まるのでしょう？（上の電場のエネルギーを使わないとできませんか？できればわからないことは使いたくないのですが・・・）

回答No.1

goma_2000 · ベストアンサー

電場のエネルギー（Eと書くと紛らわしいのでUとします。）は体積積分で表現でき

U=(ε/2)∫E^2 dV

とかけますが、これは、
無限大の距離に離れていた電荷を現在の配置に集めてくる時になされる仕事と等価です。

式は全部書くとあれなのですが、
点電荷を考えると、点電荷qiの作る電場をEiとすると、

E=ΣEi

より

E^2=Σ(i)Ei^2+Σ(i,j!=i)Ei*Ej

となります。Σの次のカッコは何で和を取るかをあらわしています。（判りにくくてすいません。）
第一項は所謂自己エネルギーです。（U0とします）

よって、

U=U0+(ε/2)∫Σ(i,j!=i)Ei*Ej dV

となります。今、電荷iを除いたほかの電荷が生成する場をφjとすると、

Σ(i,j!=i)Ei*Ej=Σ(i)Ei*∇(-Σ(j!=i)φj)

なります。
よって、

U=U0+(ε/2)Σ(i)∫Ei*∇(-Σ(j!=i)φj) dV

で、ベクトル解析の恒等式から部分積分を行うと、

U=U0-(ε/2)Σ(i)∫(∇(EiΣ(j!=i)φj)-Σ(j!=i)φj∇Ei) dV

となります。

∇Ei=(1/ε)qiδ(ri)

より、

U=U0-(ε/2)Σ(i)∫(∇(EiΣ(j!=i)φj)dS +(1/2)Σ(i)φi0qi

ここで、Σ(j!=i)φj=φi0としました。これは、電荷qiを除く全ての電荷がqiの位置に作る
ポテンシャルです。

第一項の面積分の項は境界を無限遠にとることで0とみなせるので、最終的に得られる結果は

U=U0+(1/2)Σφjqi

となります。

2番目の質問もこれで回答したことになりますよね。

お礼

なるほどよくわかりました。ありがとうございます。

回答No.3

grothendieck

下の回答で「Λρを任意のベクトルとしてTμνに
εμνρ∂νΛρを加えても上の式は成立します。」というところは「Λを任意のスカラーとしてTμνに
εμνρ∂ρΛを加えても上の式は成立します。」に訂正して下さい。すみませんでした。

回答No.2

grothendieck

エネルギー運動量テンソルは通常、ネーターの定理と関連付けられています。保存則は
　∂μTμν = 0
と書かれます。ところが、Λρを任意のベクトルとしてTμνに
εμνρ∂νΛρを加えても上の式は成立します。つまりネーターの定理だけではエネルギー運動量テンソルの形は決定されません。全空間のエネルギーではなく、エネルギー密度の局所的な値が必要になる様な問題があるのでしょうか？　あるんです、それが。アインシュタインの重力場の方程式は
　Rab - (1/2)R gab = 8πTab
で、エネルギー運動量テンソルの局所的な値が必要になります。エネルギー運動量テンソルの形は、テンソルが対称であると要求すれば決めることができます。そして重力の理論ではエネルギー運動量テンソルが対称でなければならないことも示されます。しかし重力など持ち出さずに古典電磁気学の中だけで決着をつけることはできないのでしょうか。Belinfanteがそれをしました。こうして電磁場のエネルギー密度が(εE^2 + μH^2)/2 であることが結論されます。この問題はこのサイトはもちろんのこと、物理の大学教授に質問をしても正しい答えが得られるとは限らないし、教科書にもしばしば間違いがあります。お勧めの本は
　太田浩一「電磁気学１・２」（丸善）
です。

参考URL：

http://www.cds.caltech.edu/~marsden/bib/1992/05-GoMa1992/

お礼

詳しくありがとうございました。まだ古典的な内容をやっているに過ぎないし、知識が足りないので全くわかりませんが・・・