極限の問題

質問

lim x→0 （1/xの2乗）=∞

これってどういうことなんでしょうか？
分母が０になるから極限はないんじゃないんですか？

回答No.5

ranx · ベストアンサー

どうも、再びranxです。
前の回答が誤解されそうだったなと思って戻ってきたら、stomachman先生に御墨付を頂いていました。
珍しいことです。が、やっぱり誤解されそうなんで、補足しておきます。

まず、すでにayucatさんやstomachmanさんが指摘されていますが、

f(a) = b

lim f(x) = b
x→a

上の二つの表現は同じではありません。上の方は単純に関数の値を示していますが、下の方はxの値を
aに近づければ近づけるほど関数の値がbに近づくことを示しています。（数学的なきちんとした定義は
教科書等で勉強なさって下さい。）
例えば f(x) = (x^2)/x という関数があった時、（x^2はxの2乗を意味します。）
x=0の時の関数の値は不定ですが、xを0に近づけた時、関数の値はいくらでも0に近づきます。つまり

lim (x^2)/x = 0
x→0

です。

次に、極限値は必ず存在するとは限りません。例えば

lim sin(x)
x→∞

の極限値は存在しません。xを大きくすると、sin(x)の値は-1から1の間の値を揺れ動くだけで、
一つの値に収束するということがないためです。

もう一つ、「無限大」という数は存在しません。∞という記号をよく使いますが、これは変数や関数の
値がいくらでも大きくなりうることを示す記号であって、一つの数を表すものではありません。
（いくらでも小さくなるという場合もあります。-∞のように表現したりします。）

で、ご質問のケースですが、「分母が0になるから極限はない」というわけではありませんが、
分母が0に近づくにつれ、(1/x^2)の値はいくらでも大きくなります。このことを∞という記号で
表現したのです。前の回答でも書きましたが、この状態を「発散」と言います。

お礼

やはり極限が存在しない関数もあるんですね。
どうもありがとうございました

回答No.7

stomachman

No.6の書き間違いの訂正です。

> において、「f(0)は不定」とお考えなら
を
「において、「g(0)は不定」とお考えなら」に訂正。また

> なお、f(x) = x/(x^2) という例は微妙です。
を
「なお、f(x) = (x^2)/x という例は微妙です。」に訂正。

どうもすいません。

お礼

うーん、完全に僕の理解を超えています。
でも、質問に対する回答は得られたので満足です。
ありがとうございました

回答No.6

stomachman

あやや。
ranxさん、一箇所だけチョンボです。

> 例えば f(x) = (x^2)/x という関数があった時、（x^2はxの2乗を意味します。）
> x=0の時の関数の値は不定です

とお書きになっている。問題は、「x=0の時の関数の値は不定」という部分です。

例えば
g(x) = 1/x
において、「f(0)は不定」とお考えなら、それは間違いです。0によるわり算は不定なのではなく、禁止。やっちゃいけないのです。従って、g(x)はx=0に於いては「不定」ではなく「定義されない」のです。
言い換えれば、g(x)の定義域はR-{0} （Rは実数の集合）ということですね。

なお、f(x) = x/(x^2) という例は微妙です。これも厳密には x∈(R-{0}) で定義される関数ですが、f(0)はlim(x→0)f(x)=0を使ってf(0)=0と拡張して、定義域をRに広げてしまうのが普通です。

お礼

もうすでに僕の理解を超えていますがありがとうございました

回答No.4

stomachman

極限が存在するかどうかをまず検討しなくてはなりません。この場合は「発散」。∞というのは収束値を表す数ではありません。数ではなく、正の発散を表す記号です。（両辺を"="で結ぶから勘違いしやすいですね。）

ただ、ご質問の中の「分母が０になるから」という解釈は誤りです。
lim x→0　というのは何処まで行っても|x|>0であって0にはならない。

つまりNo1の回答が完璧正解です。

お礼

そうですね、近づくだけですからね。
回答ありがとうございます

回答No.3

ayucat

分母が 0 であることと、分母が 0 に近づくことは違います。
　分母は 0 に近づくので、分子は分母に対して大きくなります。

　極限が存在しない式ってのは見たことないですねぇ...

お礼

そうですね、確かにそうでした。
ありがとうございました

回答No.2

NyaoT1980

まず、１/ｘ＾２のグラフを考えてみましょう。
このグラフは、
ｘ＝１で１、
ｘ＝０．５で４、
ｘ＝０．２５で１６、
ｘ＝０．１で１００、
ｘ＝０．０１で１００００
ｘ＝０．００１で１０＾６
・・・
となり、ｘが０に近づくにつれてどんどん値が大きくなります。
極限の場合、その値に限りなく近づけるとどんな値になるかを考えますので、ｘが０に限りなく近づけるとどんな値をとるかを考えればよいのです。
そうすると、無限大(∞）になりますね。

極限の問題の場合、分母が０となったら無限大として考えてよいですし、
分母が∞となったら０と考えてよいです。

お礼

なるほど、よくわかりました。
ありがとうございました

回答No.1

ranx

> 極限はないんじゃないんですか？
その通りです。この式は、式の値がいくらでも大きくなることを意味します。
「発散する」と表現します。

お礼

回答ありがとうございます。
返事遅れてスイマセンでした