LCR直列共振回路

質問

http://media.dj.kit.ac.jp/kairoensyu04/LCRkairo.html
のような実験をしまして、

回路図
+---コイル---コンデンサ---抵抗----+
1　　　　　　　　　　　　　　　　　1
+----------(+電源-)--------------+

コイルの内部抵抗をr、コイルのインダクタンスをL
コンデンサの容量をC、抵抗値をR
電源電圧をV、各電圧を順にVL,VC,VRとしたとき
http://www.kdcnet.ac.jp/buturi/kougi/buturiji/lcr/lcr.htm
の最終結果の共鳴の鋭さQ=f_0/(f_2 - f_1)　---式(a)　の式から
Q=(√(L/C))*(1/R+r)はどのようにして導かれるのでしょう？

また、このことのついて
参考書を見たところ、V=I*√[{wL-(1/wC)}^2+R^2]の
ルートの中の式の{wL-(1/wC)}^2　＝　R^2　　---式(b)の
式をwについて解き、符号について考えた後
大きいほうから小さいほうをひけば
(a)式の分母が出て
その分子はf_0=(2*3.14*√(LC))^(-1)から導かれるのが
わかったのですが、
なぜ(b)式のようにしていいのでしょうか？

回答No.2

endlessriver · ベストアンサー

教科書も捨てて、だいぶ経つので申し訳ありませんが、下記のサイトの話のようだったと記憶しています。
こちらの方が分かり易いと思います。
すなわち、共振時の電流I0と一般の電流Iの比
I/I0=R/√{ R^2+(ωL- 1/(ωC)^2 }
から、これが1/√2になる条件（電力の1/2を電流に換算して）を計算すると
R^2/{ R^2+(ωL- 1/(ωC)^2 }=1/2
2R^2={ R^2+(ωL- 1/(ωC)^2 }
故に、(b)の　R^2=(ωL- 1/(ωC)^2　となる。

＞Q=(√(L/C))*(1/R+r)はどのようにして導かれるのでしょう？
Q=w0・L/R と w0=1/√(LC)から求められますが(1/R+r)は何のことか不明です。rはLの抵抗分ですかね？

参考URL：

http://www.f-kmr.com/resonace.htm

回答No.4

Teleskope

何を血迷ってるののでしょうｗ、最後の一節を削除します→「これはこの回路自体の電力消費とは別のことを言ってます。」

お礼

ここで、まとめて書かせていただきます。
どの内容も僕が欲していたものだったのですが、
後になればなるほど、内容がねられていたので
ポイントの配分をご覧のとおりにしました。
一人にポイントをつけれなくって申し訳ありません。
皆様ありがとうございました。

回答No.3

Teleskope

>>　Q=f0/(f2-f1)　---(a)
から
Q=(√(L/C))(1/R+r)
はどのようにして導かれるのでしょう？ <<

式(a)はＱの近似式なので導きには使えません。本当の定義式を使います。
　Ｑ≡(ωoL)/R　　…(1)
　ωo≡1/√(LC)　　…(2)
(2)を(1)に入れると簡単に出ます。r はたぶんコイルの内部抵抗ですね、直列に R に加わるということで。

>>　(a)の分母は参考書を見たところ
|Z|=|V/I|=√[{wL-(1/wC)}^2+R^2]
のルートの中
{wL-(1/wC)}^2＝R^2　---(b)
をwについて解けば出るのですが、
なぜ(b)のようにしていいのでしょうか？ <<

　「していい」わけは、Δfが「 Zの式の 実部＝虚部になる周波数」という定義だからです。
Z はもともと
　　Z = R＋j{ωL－1/(ωC)}　　…(3)
でしょ？
これの「実部＝虚部」を書けば
　　R = ωL－1/(ωC)　　…(4)
ですよね、(b)の左右の2乗を外せば同じですよね。（抵抗はR>0ですから。）　これはωの2次式だから根の公式で解けて、ω>0より
　　ω/ωo = √{1+1/(4Ｑ^2)}±1/(2Ｑ)　　…(5)
すなわち周波数は２つある。
ここで
　　Q >> 1
の場合は、4Q^2 >> 1 ゆえ √内はほぼ１となり、
　　ω/ωo≒1±1/(2Ｑ)　　…(6)
２つの差は
　　(ω高－ω低)/ωo≒{1+1/(2Ｑ)}－{1-1/(2Ｑ)}
　　= 1/Q
上下ひっくり返して
　　Q≒ωo/(ω高－ω低)　　…(7)
これが(a)式の正体です。参考までに。

　で、
Z の実部＝虚部が実際どう見えるか； 複素数平面で図にすると実部と虚部の長さが等しいのだから２等辺三角形で長さは √2倍。つまり共振時の長さ（実部だけ）より√2倍大きい。電流で言うと I=E/Z だから電流が 1/√2≒70% に減る周波数ですね。

（ 余談です；　たいへん紛らわしいですが 電力が電流の2乗だとして「電力が1/2になる周波数だ」とも よく言われます。これはこの回路自体の電力消費とは別のことを言ってます。 ）

回答No.1

masudaya

電磁気学　高橋著　裳華房
に書いてあったと思いますが,式(a)はQが大きい場合の近似式です.直列共振回路のインピーダンスは
Z=R+j(wL-1/(wC))
電力Pは
P=E^2/Z
なので,電力で3dBダウンのところは,
R=(wL-1/(wC))となるときである.この式を用いて計算をすると,
R=wL(1-1/(w^2LC))
R=wL(1-w0^2/w^2)　　(∵1/√(LC)=w0)
1=wL/R*(1-w0^2/w^2)
1=Q*w/w0*(1-w0^2/w^2)　(∵Q=w0L/R)
1=Q*(w/w0-w0/w)
1=Q*((w^2-w0^2)/(w0w))
1=Q*((f^2-f0^2)/(f*f0))　(∵w=2πf,w0=2πf0)
1≒Q*2Δf*f0/(f0*(f0+Δf))　(∵f=f0+Δf　,Δf<<1)
∴1≒Q*Δf/f0
∴Q≒f0/Δf
となり,式(a)となります.