微分（高校）

質問

g(t)=-π∫(0≦x≦π/2)(t-x)^2・cosx・dx

を t で微分して、

g'(t)=2π∫(0≦x≦π/2)(t-x)・cosx・dx
　　　=2π(t-π/2+1)

とすることはできますか？

回答No.4

endlessriver · ベストアンサー

できます。
一般にg(t)=∫f(t,x)dx とすると
Δg(t)/Δt=(g(t+Δt)-g(t))/Δt
=(∫f(t+Δt,x)dx - ∫f(t,x)dx)/Δt
=∫({f(t+Δt,x) - f(t,x)}/Δt)dx
ここで Δt→0 とすれば
g'(t)=∫(∂f(t,x)/∂t)dx。

なお、g(t)のはじめに－が付いているようです。

お礼

回答ありがとうございます。ほっとしました。式で表せるのはすごいですね。
マイナスを間違えてつけてしまってすみませんでした！

回答No.6

D-JAGA

>なぜ積の部分が分かれて和になるのですか？
補足説明します。
積分は、積分内の掛け算は足し算に、割り算は引き算に分割できます。
その逆も出来ます。和→積、差→商。

参考URL：

http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/sekibun/

お礼

本当ですか？　だいぶ違う解になりそうに思えるのですが、ちょっと試してみます。ありがとうございました。

回答No.5

oyaoya65

tでの微分はできます。

＞g'(t)=2π∫(0≦x≦π/2)(t-x)・cosx・dx
＞　　　=2π(t-π/2+1)

g'(t)=-2π∫(0≦x≦π/2)(t-x)・cosx・dx
　　　=-2π(t-π/2+1)
で符号だけ忘れていますね。
他はあっています。

お礼

回答ありがとうございます。わかりました。
符号のことはすみません。

回答No.3

debut

ｔで微分するなら、(t-x)^2を展開して式を t について整理し、（ t を∫
の外に出し）∫～部分を定数として扱えばできます。

積分範囲は略
　g(t)=-π∫(t^2-2xt+x^2)cosxdx=-πt^2∫cosxdx+2πt∫xcosxdx-π∫x^2cosxdx
　・・・・
　あとはやってみてください。

お礼

回答ありがとうございます。解答は理解できているのですが、こういうやり方ができなかったかなあ、と思い、質問しました。思い違いなら正しておかないといけないので。

回答No.2

D-JAGA

まず結論から。無理です。
A=∫(0≦x≦π/2)(t-x)^2・cosx・dxとすると、
A=∫(0≦x≦π/2)(t-x)^2+∫(0≦x≦π/2)cosx・dx
=[1/3(t-x)^3](0≦x≦π/2)+[sinx](0≦x≦π/2)
となるはずです。(何分、昔の記憶なので間違っているかも・・・)
最終結果は、自力で解いてください。

お礼

回答ありがとうございます。お答えいただいた

A=∫(0≦x≦π/2)(t-x)^2・cosx・dxとすると、
A=∫(0≦x≦π/2)(t-x)^2+∫(0≦x≦π/2)cosx・dx

が、わかりません。なぜ積の部分が分かれて和になるのですか？

回答No.1

ma-chan45

ごめんなさい。
どうやって解くのかは忘れてしまって解説はできないんですけど、
その方法では解けないのではないかと思います。

お礼

回答ありがとうございます。こうやって g'(t) が求まると早いいんだけど、と考えてやってみたら、g(t) を最小にする t の値が解答と同じだったので、できるのかな、と思いました。

補足

すみません。最初の式の「－（マイナス）」は、いりませんでした。