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三角関数の定積分
∫1/(a+cosθ),[0<θ<2π]、ただしa>0という問題なのですが、ここでtanx/2=tと置換して積分をするということはなんとなくわかるのですが、それ以降の展開が全く分かりません。積分範囲もｔで置換したら、[0<t<0]となるんですが、これでいいのでしょうか？・・・誰か分かる方お願い致します。
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- oyaoya65
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- oyaoya65
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#1です。 1/(a+cosθ) この関数は遇関数ですので 積分区間をθ=[0→π]にして積分を2倍にしてください。 ＞∫1/(a+cosθ),[0<θ<2π]、 I=2∫[0→π]1/(a+cosθ)dθ するとt=tan(θ/2)の変換で積分範囲は t=[0～∞]になります。 ＞∫2/{(t^2)(a-1)+(a+1)}dt この式間違っています。 ここで間違ったら先に行けませんよ。正確に計算し直してみてください。
お礼
偶関数ということについてすっかり忘れてました。ところで偶関数の判断基準はどうでしたっけ？とりあえず偶関数と仮定して進展はありました。あいかわらず答えは出ませんが・・・。 ありがとうございました。
補足
回答ありがとうございました。 再計算したところ、-4∫[0～∞]1/{(t^2)+(1-a)}dtとなったんですが、 これからまたどう展開すればよいのでしょう？ これを展開すると、ArcTanh（双曲線関数？）という関数が出てくるのでしょうか？ mathmaticaで計算するとそうでてきたのですが・・・。 途中の計算過程がないので、全く分かりません。
- oyaoya65
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質問者さんの分かる範囲で解答を示してわからないところを質問してください（削除対象になりますので）。 ヒント ＞tanx/2=t tan(θ/2)=tのミスですね。 この変換でいいですね。 本当は t=(a-1){tan(θ/2)}/√{1-(a^2)}の方が1度の変数変換で済むと思いますが、オーソドックスな tan(θ/2)=t で変数変換し、そのあともう一回変数変換すればいいですね。
補足
回答ありがとうございます。 1度の変換で済む方法 t=(a-1){tan(θ/2)}/√{1-(a^2) }で展開していきましたが、複雑な形になり、余計ややこしくなってしまいました。 よって、オーソドックスなtan(θ/2)=tで計算し、整理すると、 ∫2/{(t^2)(a-1)+(a+1)}dt 範囲[0<t<0]はこれでいいのか分からないが・・・ となりました。ここからまた変数変換するということですか？ どうすればいいのか全く検討がつきません。 申し訳ありませんが、もう少し詳しく教えていただけないでしょうか？
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