三角形、内心を利用した問題

質問

三角形ABCの内心をIとして
→AI＝ｘ→AB＋ｙ→AC
と表す
(1)BC=a、CA=b、AB=c　とするとき
　x＝b/(a+b+c)、ｙ＝c/(a+b+c)であることを示せ
(2)三角形ABCの形状を変化させるとき、点（x、y)が動く範囲を求め、xy平面上に図示せよ

という問題なのですが
(1)は内心なので角の2等分線を利用するのでしょうか？そのときどのように座標を特定できるのでしょうか？
(29は軌跡でしょうか？軌跡が苦手なのでよくわかりませんでした

回答いただければありがたいです。宜しくお願いします

回答No.1

debut · ベストアンサー

座標を特定しなくてもいいと思います。
（１）の問題を
　※ベクトルを[ ]で表します。
　ＡＩを延長してＢＣと交わる点をＰ、ＢＩを延長してＡＣと交わる点をＱとします。
　角の二等分線についてＢＰ：ＰＣ＝ｃ：ｂ、ＡＱ：ＱＣ＝ｃ：ａが成り立つので、
　[ＡＰ]＝ｂ/(ｂ＋ｃ)[ＡＢ]＋ｃ/(ｂ＋ｃ)[ＡＣ]となり、
　[ＡＰ]＝ｋ[ＡＩ]とおくと
　[ＡＩ]＝ｂ/{ｋ(ｂ＋ｃ)}[ＡＢ]＋ｃ/{ｋ(ｂ＋ｃ)}[ＡＣ]　―（１）
　次に、ＢＩ：ＩＱ＝ｔ：１－ｔとおくと、
　[ＡＩ]＝(１－ｔ)[ＡＢ]＋ｔ[ＡＱ]　となり、ＡＱ＝ｃ/(ａ＋ｃ)ＡＣであることを
　考えると、[ＡＩ]＝(１－ｔ)[ＡＢ]＋ｔｃ/(ａ＋ｃ)[ＡＣ] ―（２）
　（１）（２）より、連立して計算するとｋ(ｂ＋ｃ)＝ａ＋ｂ＋ｃと求まります。
　　※５行目の性質はOKでしょうか？

（２）の問題
　（１）の問題からｘとｙの関係を求め、ｘ、ｙの変域を考えればいいのではないかと思い
　　ますが、ちょっと自信なし。

回答No.4

debut

No1です。
（２）の問題
　　　※ａ＞０，ｂ＞０，ｃ＞０のもとで　No2の方のおっしゃる条件から、
　　　ａ＋ｃ＞ｂ　→ａ＋ｂ＋ｃ＞２ｂ→１/(ａ＋ｂ＋ｃ)＜１/２ｂ→ｂ/(ａ＋ｂ＋ｃ)＜ｂ/２ｂ
　　　→ｂ/(ａ＋ｂ＋ｃ)＜１/２　だから、０＜ｘ＜１/２
　　　同様にして、０＜ｙ＜１/２

　　　これを図示すればいいと思います。「ｘとｙの関係式～」は吟味程度でいいでしょう。

回答No.3

kony0

(1)についてですが、
∠BACの２等分線上の点Pは
→AP = m { (1/c)→AB + (1/b)→AC }
と表記できます。（これは結構使える式。→AB方向と→AC方向の単位ベクトルで張られるひし形の対角線をイメージしましょう。）
※#1さんの(1)式において、bc/{k(b+c)}=mと置き換えたものと同じです。

同様に、∠ABCの２等分線上の点Qは、
→BQ = n { (1/c)→BA + (1/a)→BC }
これより（Aを始点とする位置ベクトル展開を行うと）
→AQ = {1-n(1/c + 1/a)}→AB + (n/a)→AC

ということで、→AIは上記２式において
(1/c)m = 1-(1/c + 1/a)n
(1/b)m = (1/a)n
が成り立つので、これからnを消去してmを求めると
m = bc/(a+b+c)（以下略）

回答No.2

noname#44630

(1)は#1さんので出来ると思います。(2)のｘ、ｙの変域ですが、これは三角形の二辺の和は他の一辺より長いという条件をつかえばいいのでは？