内心

質問

xy平面上の点Q(12,0)と原点O(0,0)に対して∠OPQ=60゜となるように点Pをy＞0の範囲にとる このとき△OPQの内心Iの軌跡とその長さを求めよ

∠OIQが120゜なのは求めたのですがここからが分かりません 教えてください

回答No.3

ferien · ベストアンサー

内心Ｉ（ｐ，ｑ）とおく。ＩからＯＱへ垂線を引いて交点をＨとする。
∠OIQが120゜なので、∠ＯＩＨ＝Ａ，∠ＱＩＨ＝Ｂとすると、Ａ＋Ｂ＝１２０゜
△ＩＯＨより、tanＡ＝ｐ／ｑ，△ＩＱＨより、tanＢ＝（１２－ｐ）／ｑ
tan１２０゜＝tan（Ａ＋Ｂ）＝（tanＡ＋tanＢ）／（１－tanＡtanＢ）
tanＡ＋tanＢ＝１２／ｑ，
tanＡtanＢ＝ｐ（１２－ｐ）／ｑ^2より、１－tanＡtanＢ＝（ｑ^2－１２ｐ＋ｐ^2）／ｑ^2だから
－√３＝１２ｑ／（ｑ^2－１２ｐ＋ｐ^2）
√３ｐ^2－１２√３ｐ√３ｑ^2＋１２ｑ＝０
√３（ｐ^2－１２ｐ＋３６）＋√３（ｑ^2＋１２ｑ／√３＋１２）＝３６√３＋１２√３
（ｐ－６）^2＋（ｑ＋２√３）^2＝４８
よって、内心Ｉの軌跡は、（ｘ－６）^2＋（ｙ＋２√３）^2＝４８（０＜ｘ＜１２）
中心（６，－２√３），半径４√３の円（０＜ｘ＜１２の部分）

長さは、弧ＯＱの長さ、円の中心Ｃとすると、
ＣＯ＝ＣＱ＝４√３より、△ＣＯＱは二等辺三角形だから、
ＣからＯＱへおろした垂線の足をＤとすると、ＯＤ＝ＱＤ＝６
ＣＤ^2＝（４√３）^2－６^2＝４８－３６＝１２より、ＣＤ＝２√３
tan∠ＯＣＤ＝tan∠ＱＣＤ＝６／２√３＝√３だから、∠ＯＣＤ＝∠ＱＣＤ＝６０゜
だから、∠ＯＣＱ＝１２０゜これは弧ＯＱ上の中心角だから、
弧ＯＱ＝２×４√３×π×（１２０゜／３６０゜）＝８√３π／３

お礼

大体分かりましたが、もしかしたらまだ理解してない部分があって後に補足するかもしれません
回答ありがとうございました

補足

tan120゜を解くことと内心Iの座標を求める関係というのはありますか？それともpとqの方程式を作るためにただ利用しただけということでしょうか？

回答No.6

ferien

ANo.3です。補足について

＞tan120゜を解くことと内心Iの座標を求める関係というのはありますか？
∠OIQが120゜であることを利用して軌跡（ｐとｑの方程式）を求めているので、大いに関係があります。

少し気になるのは、０＜ｘ＜１２としていますが、０≦ｘ≦１２でなければ、軌跡の長さを求められないので、答えの方はどうなっているのでしょうか？
端の値も入れてしまえば、ＩとＯが重なり、ＩとＱが重なる場合を考えていることになるので、そのときは、△ＯＰＱの内心として考えることができるのか？と言う意味で疑問です。
もしも良ければ、答えを教えて欲しいと思います。

お礼

答えは中心(6,-2√3)で半径4√3の円周の内y＞0の部分を動くとなっていますから言い方は違えども同じです
回答ありがとうございました

回答No.5

yyssaa

補足

この外接円の中心が直線x=6の上にあることは明らかであり、

明らかな理由が分からないので教えてください

＞(0,0)と(12,0)を通る円周角120°の円ですから、
　(0,0)と(12,0)の垂直二等分線上に中心があります。
　どんな円でも、弦の垂直二等分線は中心を通ります。

お礼

外接円の定義がそもそも垂直二等分三線の交点だからということよろしいですかね？
ありがとうございました

回答No.4

yyssaa

∠OIQ＝120°が分かれば、Iの軌跡はOQを弦とする円弧に
なることが分かるので、まず、この円弧を一部に含む
△OIQの外接円を求める。
この外接円の中心が直線x=6の上にあることは明らかであり、
このときのIのy座標は、6/√3=2√3。
次に直線x=6上のy＜0の範囲に点Rを∠ORQ=60゜になるよう
にとると、IRは外接円の直径になり、この外接円の中心を
S(6,-s)とすると、∠OSQ=2∠ORQ=∠OIQからsはこのときの
Iのy座標と等しくなり、s=2√3、すなわち外接円は
点(6,-2√3)を中心とする半径4/√3の円になる。
よってIをI(x,y)とするとIの軌跡は
(x-6)^2+(y+2√3)^2=(4√3)^2から
x^2-12x+y^2+12y=0(y＞0)・・・答え、となる。
Iの長さは、この円の中心角が120°の円弧の長さなので、
2π(4√3)/3=(8√3)π/3・・・答え、となる。

お礼

回答ありがとうございました

補足

この外接円の中心が直線x=6の上にあることは明らかであり、

明らかな理由が分からないので教えてください

回答No.2

151A48

OQは定線分，∠OIQは定角１２０°なので，Iは弦OQを見込む角が１２０°の円弧上を動く。
今の場合その円は(6, 2√3)，半径4√3
y>0の条件より中心角１２０°
軌跡の長さ２π×（４√３）×（１/3)

お礼

回答ありがとうございました

補足

今の場合その円は(6, 2√3)
これはいきなり出るのですか？教えてください

回答No.1

mister_moonlight

軌跡の長さ、というから直線か円になるだろう事は見当がつく。

P(α、β)とすると、2直線の交角が60°だから、2つの直線の傾きは、m＝β/α　と　n＝β/(α-12)　だから　tan60°＝｜(m-n)/(1+mn)｜に代入すると　(α-6)＾2＋(β-2√3)＾2＝48　β＞0　‥‥(1)　が求める点Pの軌跡になる。
そこで、内心Iの軌跡の軌跡だが、(確か、これは初等幾何で証明できたように記憶するが)下のＵＲＬの14pageの知識を使うと、(1)の円の第1象限の部分だから長さは出る。

http://www.300000.net/myloci2007/myloci2007.pdf#search='内心の軌跡'

＞∠OIQが120゜なのは求めたのですがここからが分かりません

この方法(＝私が、初等幾何でも求められたはずという方法)でも求められたはず、忘れた。。。。。。。ｗ
おそらく、この方法のほうが　ずつと簡単だろう。

お礼

回答ありがとうございました

補足

QPの傾きnがβ/(α-12)となる理由とtan60°＝｜(m-n)/(1+mn)｜が分かりません
教えてください