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情報とは?
stomachmanの回答
- stomachman
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どういう文脈でそんなへんてこな課題が出たのか分からないので、自信なしですけど… 例えば自然対数の底 e = 2.718....の値を小数点以下1億桁、通信で送ろうとすれば、なかなかのデータ量になりますが、「e=Σ(1/n!) (n=0,1,2,...)」という公式を送れば、うんと短くて同等の情報が伝えられます。 そういうような意味のことを言っているんだと思うんですよ。 そして、それは間違いです。 情報量の単位bitに対して、2進数の文字数の単位はbitではなくbinitと言います。両者を混同しているアホが沢山いて、「情報圧縮」なんて馬鹿を言うやつまで居ります。しかし、情報量というのは、理想的に圧縮しきった限界においてだけbinitと一致するんです。つまり 情報量 ≦ 通信する文字数 つまり、eの値を1億桁書き連ねてたものには、情報量がほとんどない。せいぜい100bit程度の情報しか含んでいない。「自然対数の底」書くだけで同じ意味が伝わるんですから。規則性がある数字なら、規則だけ送れば良い。名前までついていれば、名前だけで十分ですね。 もちろん「どんな数字の列でも情報が少ない」と限ったわけではない。コインを1億回投げるという実験で得られた1億個の1桁の2進数を送る場合には、これは文字数と同じだけの情報を含んでいる。これは全く規則性がないからです。 そういう意味では、数学の含んでいる情報量は実に微々たるものです。なぜなら、「公理と推論規則だけから導き出される定理の体系」が数学理論だからです。あらゆる定理は全て規則的である。つまり、公理と推論規則だけを送ってやれば、どんな定理でも(自動的にではないけれど)再現できるはず。 ここに「自動的にではない」と但し書きを付けたのは、「機械的アルゴリズムで全ての定理を自動的に枚挙できるような数学理論」というのには強い制約が付くからで、大抵の数学ではそうは行かない。(この辺りは数学基礎論における不完全性定理、枚挙可能定理などの話で、ご質問の範囲からはちょっと話が広がり過ぎかもしれません。)
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