関数

質問

0≦x≦1のとき、関数ｙ＝－ｘ二乗＋２ａｘ＋ａ二乗の最大値、最小値を求めよ。

が分かりません。

とりあえず、ｙ＝－（ｘ－ａ）二乗＋２ａ二乗にしたんですけど、そこから先が…

誰かお願いします。

回答No.5

jupi-tor · ベストアンサー

平方完成したまでは正解です。

この問題の場合、0≦x≦1と変域があるので、変域内に頂点を含むか含まないか、つまり頂点のx座標であるaの値によって場合分けをする必要があります。
具体的には
(1)a＜0(頂点が変域の左側)
(2)0≦a≦1(頂点が変域内)
(3)1＜a(頂点が変域の右側)
という3パターンに分けます。それぞれについてグラフを描き、最大、最小がどうなるか考えてみてください。
描いてみると(2)の範囲が更に0≦a＜1/2、a=1/2、1/2＜a≦1と3つに分かれることが分かると思います。(最大値を考えてみてください)つまり最終的には5つの場合分けになります。

これをイメージ的に捉えるには、紙に適当に放物線を描き、ペンを2本等間隔で持ちながらグラフ上を動かしてみて下さい。(左側のペンが変域の左側、右側のペンが変域の右側に相当します)

回答No.4

potter548

これは、高校の数学Iの問題ですね。
二次関数の最大・最小問題は、放物線を描いて考えましょう。
問題の放物線の軸は、x=aですね。これは式変形がきちんとできているのでわかっていることだろうと思います。軸の位置を左右に動かして、どの位置で最大・最小の値をとるかによって場合わけします。（ここで注意すべきことは、この放物線は上に凸であることです）つまり、aの値の範囲で場合訳するのです。詳しくは教科書や、参考URLの『xの範囲に指定がある場合の2次関数の最大最小』を見ましょう。詳しい解法が載っているはずです。
また、この問題では最大値と最小値のどちらも問われていますが、最初から2つを考えるのは難しいので、最大値だけ、最小値だけで考えて、あとで合わせるのがいいと思いますよ。

参考URL：

http://www.crossroad.jp/mathnavi/math-i/math-i-index.html

回答No.3

mac-san

y=-x^2+2ax+a2
=-(x-a)^2+2a^2
=f(x)

なので、

aの値が何であるかで最大値、最小値が変わります。

答えを書くのは簡単ですがヒントまでで。

a=2であれば 最大値f(1) 最小値f(0)
a=0.8であれば、最大値f(0.8) 最小値f(0)
a=0.1であれば、・・
a=-1であれば、・・

結局、aで場合分けすれば言い訳ですね。

回答No.2

oyaoya65

放物線の対称軸ｘ＝aで場合分けしてしてください。
a＜0のときx=０で最大、x=1で最小
a＞1のときx=０で最小、x=１で最大
０≦a≦1/2のときx=aで最大、x=1で最小
1/2＜a≦1のときx=aで最大、x=0で最小
となります。

＞ｙ＝－（ｘ－ａ）二乗＋２ａ二乗
これは
ｙ＝－(x-a)^2 +2 a^2
と書くといいですね。

グラブをaの場合分けの４通りに描いてみてください。
最大、最小がxのどの値で起きるか分かると思いますよ。

後は分かりますね。ご自分でおやりください。

回答No.1

bandgap

ヒントにとどめときますが．

試しに，a = -10, -1, 0, 1, 10 など，適当にいくつか数値を代入して，グラフを書いてみて下さい．そして，それぞれの a について，最大値と最小値を求めてみては？　ヒントが見つかるかもしれませんね．

数学や物理を理解するときには，未知の文字にとりあえず何でも良いから値を代入してみて，どんなもんか確かめてみる．

結構こういう泥臭いことも大事ですよ．