反応工学の数学計算

質問

反応工学の教科書に載っていたものです。

dＣA／dθ＝－ｋＣA（ＣB0－ＣA0＋ＣA）
を、θ＝０でＣA＝ＣA0なる初期条件のもとに積分すると
ＣB0／ＣA0≠１のとき
ｋ＝{ｌｎ(ＣB0ＣA／ＣBＣA0)}／{θＣA0(１－ＣB0／ＣA0)}
ＣB0／ＣA0＝１のとき
ｋ＝１／θ・（１／ＣA　－　１／ＣA0）

となるそうなのですが、
ＣB0／ＣA0＝１
のときの途中経過を教えて下さい。

回答No.3

Organomets

既に良い回答は出ていますね。ただ一つだけ質問された方にお願いを。

質問をアップするときにはその問題に与えられている仮定も必ず記してください。今回の場合には最初の式が導出された経過のなかに必要な仮定が書いてあったはずです。
とくにＡとＢはそれぞれ原料なのか生成物なのかということと、ＣB ＝ ＣB0－ＣA0＋ＣAが成立することは明記しなければなりません。

数日前yahoo掲示板化学一般質問トピにも似たような質問がありました。ご参考まで。

回答No.2

loveobo

二次反応　Ａ ＋ Ｂ → Ｘ　の反応速度の計算でしょうか？
「Ａの転化率すなわち濃度 ＣA の減少速度　－dＣA／dθが
　Ａ濃度（ＣA）とＢ濃度（ＣB）の積に比例する」を記述すれば、
－dＣA／dθ = ｋＣA ＣB　（１）
ＡとＢの各１分子が反応するので、等量仕込み（ＣB0 ＝ ＣA0）で開始
すれば、反応が進んでも　ＣB ＝ ＣA　の関係は維持され、（１）式は
－dＣA／dθ = － k ＣA^2　（２） になり、 Zincerさんが仰るように
楽に解けます。反応時間θにおけるＡ濃度を測定すると、速度定数ｋ
が求まります。kokabeさんがお求めの「途中経過」になっていますか？

Ｂを過剰仕込みすると、反応中も Ｂ濃度は ＣB0－ＣA0 だけＡ濃度より
大きいまま、すなわち　ＣB ＝ （ＣB0－ＣA0 ）＋ ＣA で、（１）式は
dＣA／dθ ＝ －ｋＣA（ＣB0－ＣA0＋ＣA）　とご質問の式ですね。
（Ａ過剰仕込みなら ＣB0－ＣA0 が負になるだけで式は同じ）
私がこの先に踏み込むとボロを出しそうなので、ここまでにしておきます。

回答No.1

Zincer

どう考えても「ＣB0／ＣA0＝１」の時の方が楽そうに見えますが．．．
＞ＣB0／ＣA0＝１
の時は、 ＣB0＝ＣA0
ゆえに与式は
dＣA／dθ＝－ｋＣA＾2
になりますよ。