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足すと9になる三桁の数が9で割れるのはなぜ?

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お礼率 25% (2/8)

足すと9になる三桁の数が9で割れるのはなぜでしょうか。じつはあまり深く考えずに使っていたのですが、小学生のいとこに尋ねられたときに答えられなかったのです。いろいろ証明しようと思えば出来るのでしょうが、小学生の頭にもになじむ説明の仕方が見つかりません。いとこは小学四年生です。どうぞ宜しくお願いします。
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質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.5
レベル10

ベストアンサー率 42% (53/126)

例えば、327を 300 + 20 + 7 のように百桁の数(A)、十桁の数(B)
一桁の数(C)のように分解します。
そうすると例えば 300 を9で割った余りは 3、20 を9で割った時の
余りは 2、7 を9で割った時の余りは 7 というように余りの数は桁の
数字に同じになるので、余りを足して9で割り切れるならそれは9の倍数
ということになります。
つまり、

A+B+C = X+(百桁目の数字)+ Y+(十桁目の数字)+ Z+(一桁目の数字)
(X,Y,Z はそれぞれ9の倍数)

と考えることができ
X,Y,Z が9の倍数なら、それらの足し合わせた数も9の倍数です。
(百桁目の数字)+ (十桁目の数字) + (一桁目の数字)が9で割り切れる
なら、(百桁目の数字)+ (十桁目の数字) + (一桁目の数字) も9の
倍数になるので、全てを足し算した A+B+C は9の倍数。つまり9で割り
切れるということになります。
小学4年生が倍数や、9の倍数を足し算した結果がやはり9の倍数になる
ということが分からないと説明は難しいけど、200を9で割ると余りが
2になるというちょっと不思議な性質を考えてもらうといいかもしれません。
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その他の回答 (全6件)

  • 回答No.2
レベル14

ベストアンサー率 15% (594/3954)

3桁の数にかぎらず、9の倍数は各桁の数字を加えると9の倍数になります。 したがって、「足すと9になる」というより「足すと9の倍数になる」が正しい。 (たとえば、「999」や「909」など) 「水道方式」でよくつかう道具(「タイル」とよばれる)で考えると、3桁の数というのは、「100」のタイル、「10」のタイル、「1」のタイルがそれぞれ数枚で構成されるわけですが、(たとえば「743」は「100」が ...続きを読む
3桁の数にかぎらず、9の倍数は各桁の数字を加えると9の倍数になります。
したがって、「足すと9になる」というより「足すと9の倍数になる」が正しい。
(たとえば、「999」や「909」など)

「水道方式」でよくつかう道具(「タイル」とよばれる)で考えると、3桁の数というのは、「100」のタイル、「10」のタイル、「1」のタイルがそれぞれ数枚で構成されるわけですが、(たとえば「743」は「100」が7、「10」が4、「1」が3つ)
なければ、お手製で、100=10×10、10=10×1、1=1×1の正方形、長方形を方眼紙で何枚か作ってみましょう。お皿を9枚用意して。

「100」を9つに分けようと思えば、ハサミで「10」を10作るのですが、そのうち9つは分けられます。あまった「10」は「1」を10こに切り分けられます。このうち、9つは分けられます。最後に「1」が1つあまります。
「10」も「100」も(ついでに「1000」も「10000」も・・)、9で割れば「1」あまります。
「300」であれば「3」、「700」であれば「7」、「40」であれば「4」、それぞれ、各位の数字があまりになります。(「9」あるいは「0」であれば割り切れます。)
最終的に割り切れる条件というのは、「あまりを集めて9(9の倍数)になればいい」ということになります。したがって、各位の数字がそのままあまっているわけだから、各位の数字を足せば、9で割り切れるかどうかわかります。

ついでに、
それぞれの数字について、倍数みつけ方があるのですが、「7」の倍数だけは、「見つけ方」をやるより実際に7で割った方が手っ取り早いので、「7」は神秘的な数字といわれていました。

  • 回答No.1
レベル10

ベストアンサー率 9% (16/172)

9と99が9で割り切れるからです。
9と99が9で割り切れるからです。
  • 回答No.3
レベル12

ベストアンサー率 55% (369/665)

A+B+C=9である時に、N=100×A+10×B+CとなるようなNが9の倍数であることを証明しなさい。というような問の回答ならば以下の通りです。 N-(A+B+C)を計算します N-(A+B+C)=100×A+10×B+C-(A+B+C)          =99×A+9×B ここで99も9も9の倍数ですので、『N-(A+B+C)』は9の倍数となります。 最初の命題より、N-(A+ ...続きを読む
A+B+C=9である時に、N=100×A+10×B+CとなるようなNが9の倍数であることを証明しなさい。というような問の回答ならば以下の通りです。


N-(A+B+C)を計算します
N-(A+B+C)=100×A+10×B+C-(A+B+C)
         =99×A+9×B

ここで99も9も9の倍数ですので、『N-(A+B+C)』は9の倍数となります。
最初の命題より、N-(A+B+C)=N-9です。
このことからN=(9の倍数)-9なります。
9の倍数から9を引けば当然、9の倍数ですからNが9の倍数であることが証明できることとなります。

小学4年生にはちょっと難しい解答かもしれませんが、遅くとも6年生では理解できるレベルだと思います。この程度は判っているということだと思いますが、他に説明する方法が見当たりませんでしたので記載させていただきました。
  • 回答No.4
レベル7

ベストアンサー率 42% (6/14)

小学4年生で疑問を持ったってすごいですよね。 だって、言われるままに使う子供たちって結構いますから。 で、答え方なんですけど、そんなにも難しく考えなくていいと思います。私だったら小学4年生にこのように教えます。 まず、足して9になるような1桁の数字を質問します。  →当然9しかないので、9で割り切れます。 次に、足して9になるような2桁の数字を質問します。  →18,27,36,45, ...続きを読む
小学4年生で疑問を持ったってすごいですよね。
だって、言われるままに使う子供たちって結構いますから。

で、答え方なんですけど、そんなにも難しく考えなくていいと思います。私だったら小学4年生にこのように教えます。

まず、足して9になるような1桁の数字を質問します。
 →当然9しかないので、9で割り切れます。
次に、足して9になるような2桁の数字を質問します。
 →18,27,36,45,54,63,72,81 これらも9で割り切れます。
これらが成り立つことから、「各桁を足して9になる数字は全部9で割れるのではないか」という法則があるのではないかと予測してもらいます。で、実際に3桁の数字でも成り立つかどうか、また4,5,6…桁の数字でも同じようにできるかどうか確認をする。

で、この問題って、本当は
「各桁の数字を足して9の倍数になる数字は、9で割れる」
って所まで発展できますよね。「99も9で割り切れるけど、ほかに何かルールはないかな?」って感じで、発見してもらえれば一番いいでしょうね。
  • 回答No.6
レベル4

ベストアンサー率 0% (0/2)

 なぜ、300を9で割ると余りは3になるのか。  それは100を9で割ると余りが1になるからです。  その100が3個集まると300だから、余りも1が3個集まって3になる。  同じように10を9で割ると余りは1。だから20の場合は2なんですね。  小学4年生ということで、すこし丁寧に説明する必要があるのかもしれません。  発展問題になると思いますが、1000でも10000でも同じように9で割 ...続きを読む
 なぜ、300を9で割ると余りは3になるのか。
 それは100を9で割ると余りが1になるからです。
 その100が3個集まると300だから、余りも1が3個集まって3になる。
 同じように10を9で割ると余りは1。だから20の場合は2なんですね。
 小学4年生ということで、すこし丁寧に説明する必要があるのかもしれません。

 発展問題になると思いますが、1000でも10000でも同じように9で割ると1が余りになります。
 小学生なので三桁にしているのでしょうが、三桁に制限されるものではないわけですね。
 
  • 回答No.7
レベル14

ベストアンサー率 31% (726/2280)

kkoiさんの言うようにまずどうなるかを実践させて、10の位、100の位・・・で実際9で割ると余りが幾つになるかを発見させることからはじめましょう。必ずその位の先頭の数字が余りになるはずですから、各位の合計が9で割れればその数字も9で割れることがわかるはずです。それがわかれば何桁の数字でも合計が9で割り切れれば9で割れることが理解できると思います。 ...続きを読む
kkoiさんの言うようにまずどうなるかを実践させて、10の位、100の位・・・で実際9で割ると余りが幾つになるかを発見させることからはじめましょう。必ずその位の先頭の数字が余りになるはずですから、各位の合計が9で割れればその数字も9で割れることがわかるはずです。それがわかれば何桁の数字でも合計が9で割り切れれば9で割れることが理解できると思います。
お礼コメント
castle

お礼率 25% (2/8)

学校に行っている間にさっそくたくさんのお返事を頂き、驚きました。皆さん本当に有難うございました。小学生では代数を使うことが出来ないので、一般的に証明することが出来ないのです。けれど、私自身納得できないと公式が使えないたちなので、飲み込んでしまえとはいえませんでした。何人かの方がおっしゃっていたように、9で割ったあまりを使う方式で説明してみようと思います。
投稿日時 - 2001-11-02 22:17:41
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