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ディラックのデルタ関数
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＞δ（ｔ）は実数値関数と呼んでもいいのでしょうか？ 実数は厳密には∞を含まないので気になります。 厳密なことは分かりませんが、 ∞は数値でなく状態だと思います。実数はどれだけでも大きな実数が存在います。 ですから実数として扱い、幅ｔ、振幅（高さ）1/t、その他はゼロ振幅の関数のｔを限りなく狭くした極限として定義されていますね（他の定義もありますが）。 あくまで幅がε（限りなく小さな正の実数）、高さが1/εの関数（幅×高さ＝１）の実数関数と考えれば言いと思います。極限としてみた場合は幅ゼロ、高さ∞と言うことになりますが。 工学的にはδ（ｔ）は幅が狭い（有限）で高さも有限（無限）でないパルスとして標本化関数として使われます。周波数スペクトルでも理論には幅ゼロ、高さ∞の線スペクトルとして扱いますが、実際はきわめて狭い有限幅で強さ（振幅）もきわめて大きい有限振幅のスペクトルということになります。 現実には、有限幅、有限高さの矩形波で、理論計算上でその矩形波として扱っています。 δ（ｔ）関数は実数関数の矩形波の極限として理想化された関数で実数関数として扱って問題ないと思います。 逆に非実数関数として扱かう理由や必要性はないと考えます。
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- rabbit_cat
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そもそも、ディラックのデルタ関数は、汎関数であって、関数ではないので実数値関数と呼ぶのはやっぱり変です。 普通の関数は、超関数でもあるので、あえて言うなら、sin(x)も、δ(x)も、「実数値超関数」と呼べるのでしょうか。 ＞離散時間信号と連続時間信号を区別せずに統一的に呼びたい場合に実数値関数という文言を使いたいのです 応用上は、たいていは（とくに線形演算については）、δ(x)で離散信号を表せば連続信号を同じようにあつかえる場合が多いです。 しかし、例えば２つの信号の積などを考えると、離散と連続の場合で統一的には扱えません。このことは「超関数の積」というのが定義されていないことからも分かります。
お礼
ありがとうございます 畳み込みはδ関数のの積の積分になりますが ディジタル信号処理分野で良く使います
- ojisan7
- ベストアンサー率47% (489/1029)
実用的な面で使うのであれば、不都合なことのない限り、実数値関数のように、扱うことができるんではないかと思います。 質問の意図がつかめなくて、すみません、δ(x)をなぜ、実数値関数と呼ばなければならないのか（呼びたいのか）理解できていません。 実数の集合に無限遠点∞を加えてコンパクト化したものを新たに、実数と定義すればよいような気もしますが、果たして、そうすることにより、どんな意味があるのか疑問です。
お礼
通常の信号は有界な本来の意味の実数値関数で表されますが 離散時間信号はδ（ｔ）を使って表します そのとき離散時間信号と連続時間信号を区別せずに統一的に呼びたい場合に実数値関数という文言を使いたいのです フーリエ変換したととの信号は複素数値関数になりますから場面によってその区別の意味もあります 適当な呼び方がないと一々無限大も含めると断らないといけません 注意書き無で読んでいいのならば便利なのです
- ojisan7
- ベストアンサー率47% (489/1029)
私自身は消化不良を起こしているのですが、 岩波書店からでている、シュワルツの「超関数の理論」を読んでください。 佐藤の超関数も複素関数の拡張として捉えてみれば、面白そうな気がします。
お礼
ありがとうございます 超関数の中で最も価値の有る関数デルタ関数は実数値関数といっていいのでしょうか？ 呼びたいとは思いますが
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お礼
詳しい説明ありがとうございます。