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逆双曲線関数

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  • 質問No.160442
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お礼率 20% (2/10)

複素数のtanh(x)の逆を取りたいのですが。
tanh-1(Q∠φQ)での逆双曲線関数の公式は分かるのですが。
tanh-1(α+jβ)の公式はあるのでしょうか?
もし、知ってる方いらっしゃいましたらお願いします。
いま、UBASICという複素数計算の出来るBASICでプログラムを組んでまして
UBASICですと、α+jβの形式での計算になるので、この形式のままで
いけたらと思ってます。
まぁ、α+jβをQ∠φQの形に直せば、それまでなのですけども。。。
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レベル13

ベストアンサー率 64% (700/1089)

逆双曲線関数 tanh^{-1} z は
(1)  tanh^{-1} x = log{(1+z)/(1-z)}
ですから,z を複素数 α+jβとして代入計算整理すれば公式が得られます.
ただし,複素数の log ですので,無限多価関数になっていることに注意が必要です.
tanh^{-1}(α+jβ) の主値は,

(2)  tanh^{-1}(α+jβ)
    = (1/2) tanh^{-1}{2α/(1+α^2+β^2)} + (j/2) tanh^{-1}{2β/(1-α^2-β^2)}

で,これに nπj (n は整数)を加えたものが一般値です.
主値は tanh^{-1} の加法定理を使うとか,(1)を使って log に書き直すとかで,
他にも等価な表現があります.

間違っているといけないので,岩波の数学公式集で確認しました.
なお,こういうことによく遭遇するのでしたら,この公式集は大変役に立ちます.
一組(三巻です)手元に置いて置かれることをおすすめします.
お礼コメント
happiness_snow

お礼率 20% (2/10)

ありがとうございます。
岩波の公式集ですね。本屋さんで見てみます。
投稿日時 - 2001-11-01 14:20:13
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