複素数の証明問題2(先ほどの問題とまとめわすれました)

質問

a,bが複素数で　|a|<1かつ|b|<1ならば
|(a-b)/{1-a(bバー)}|<1であることを証明しなさい。

と言う問題と

a^2 -b^2 <= |a±b|^2 <= a^2+b^2
があっているかあっていないかと言う問題です。

後者は両端は分かるのですが真ん中の位置があっているのか証明するのができません。

先ほどの質問にあわせればよかったのですが忘れてしまいまして申し訳ありませんでした。
それではよろしくお願いします。m(_ _)m

回答No.4

Drunk

後者の修正版は三角形の成立条件かな？
|a|-|b| <= |a±b|<= |a|+|b|

回答No.3

sggk

No.1です。

まず、前者の証明に対して、なぜ|1-a(bバー)|^2 -|a-b|^2のような形にするかですが、分数が1以下の場合、分子<分母となるはずなので、そこから分母-分子>0となるように考えただけです。また、2乗をするのは、絶対値のまま計算するのはややこしいからです。絶対値は2乗をすると絶対値が外れるので。数学の問題を解いていけば上記の2つの感覚はだんだん身についてくると思いますよ。

で、後者についてですが、符号がマイナスでも正しくないでしょう。a=1+1i，b=1-2iとした場合、
|a-b|^2 = 9
|a|^2 +|b|^2 =2+5=7
となり、NGです。
ぱっと見て与えられた数式は修正しようがないですね・・・

他に何かあれば質問してください。

回答No.2

postro

前半は解決済みのようなので後半です。
a^2 -b^2 <= |a±b|^2 <= a^2+b^2
は明らかにおかしいです。a^2+b^2　や　a^2 -b^2　は実数とは限りません。
虚数なら大小関係を云々できません。そこで、絶対値をつけて
|a|^2 -|b|^2 <= |a±b|^2 <= |a|^2+|b|^2
だとします。それでも明らかにおかしいです。
a,b　が実数だとしても当然成り立たなくてはなりません。反例として
a=1 ,b=1 のとき
|a+b|^2 <= |a|^2+|b|^2 は成り立ちません。

補足

後者は問題の間違えを訂正する問題なのです、記述が足りなくてすみません。
それで訂正するにはどうすれば・・・と思うのです。
既出の話を聞いていると訂正すら不可能なのかなとも思うのですがどうなのでしょうか？

そして前者なのですがよくよく見てみると
|1-a(bバー)|^2 -|a-b|^2
初めこのような形にするのはどこから出てくるのかと思いました。
与えられた条件をそれぞれ二乗して引いたのはわかりますが、何故その形にすれば答えがでるのかわかりません。なぜでしょうか？
そのあたり先ほど補足し忘れました。(_ _

回答No.1

sggk

まず、前者の証明から行きます。
|1-a(bバー)|^2 -|a-b|^2
=1+ |a|^2|b|^2 -|a|^2 -|b|^2
=|b|^2(|a|^2-1) +1 -|a|^2
=(1 -|a|^2)(1 -|b|^2) > 0 (|a|<1，|b|<1より)
したがって、
|a-b|^2 < |1-a(bバー)|^2
|a-b|<|1-a(bバー)|
ゆえに
|a-b|/|1-a(bバー)|<1
以上で、証明終わりです。

後者の証明ですが、後者の式は正しくないと思います。まず、左右の式ですが、a^2やb^2ではなく、|a|^2や|b|^2ではないでしょうか？複素数の大小比較はできないと思いますので。
また、上記の前提としても、式は正しくないと思われます。

|a±b|^2 = |a|^2 +|b|^2 ±{a(bバー) +(aバー)b}
ですが、右辺の3番目の項は、±の符号によって正負のどちらかになるので、|a±b|^2 と |a|^2 +|b|^2の大きさは±の符号によって大小が異なるはずです。

以上で説明になっていますでしょうか。

補足

とても分かりやすい返答ありがとうございます。m(_ _)m
二つ目の問題なのですが、問題文は記述のとおりで訂正があるとも言われなかったのでそのとおりだと思うのです。
それぞれaとbは別々の複素数で、左辺、右辺の不等号は絶対値がついていないのですが、真ん中の辺のみ絶対値がついていてその絶対値の二乗となっています。
そして、その関係がおかしい（不等号などがそうはならない）場合、正しい数値を入れるのです。
そういう場合は±の-だけにすればよいのでしょうか？
すなわち
a^2-b^2 <= |a-b|^2 <= a^2+b^2
でよいのでしょうか？？
御返答よろしくお願いします。