計算

質問

すいません。以下の計算がわかりません。

(rot(X+dX))**2

dXは２乗したら消えるとして、いま変分を計算してます。
どんな変形でも良いので宜しくお願いします。

回答No.2

noname#2380 · ベストアンサー

初めまして。blue_monkeyと言います。
問題を次の変分問題の計算として理解し、説明させていただきます。blue_monkeyの理解が間違っていましたら、読み捨ててください。

問題
(1) E[G]=∬ (∇×(Gx(x,y,x),Gy(x,y,z),Gz(x,y,z)))^(2) dx dy dz
(1)式について(2)の変分を求める。
(2) δE=E[G+δG]-E[G]

【ヒント?】
(1)ガウスの定理
∬∇・(Ax,Ay.Az) dx dy dz=∬(Ax,Ay,Az)・(dSx,dSy,dSz)

(2)ベクトル解析の公式(この式については特に説明をしません。手計算で確認していただければ幸いですぅ～）

(3)　∇・(（Ax,Ay,Az）×(Bx,By,Bz))
=(∇×(Ax,Ay,Az))・(Bx,By,Bz)-(∇×(Bx,By,Bz))・(Ax,Ay,Az)

【蛇足計算】
以下の計算では、ベクトルG、A、BをVG、VA,VBと記述します。
また、体積素片dxdydzをdrと略記させていただきます。
ベクトル成分の積は、実数と同じ交換則（可換）が成り立つとします。

δE=∬∇×(VG+δVG)・∇×(VG+δVG)-∇×(VG)・∇×(VG) dr

ベクトル関数VGの変分の一次の項までを取ると（δVGの2次以上の高次の項は考えない）、

=2*∬∇×(VG)・∇×(δVG) dr

(4)

(3)式にて、VA=δVG、VB=∇×VGとして、代入します。

(5)　∇・(δVG×(∇×VG))

=(∇×δVG)・(∇×VG)-(∇×(∇×VG))・δVG

(5)式の両辺をx,y,zで積分を行います。

∬∇・(δVG×(∇×VG))　dr

=∬(∇×δVG)・(∇×VG)-(∇×(∇×VG))・δVG dr

上記式は、右辺の2項を左辺に持っていき整理すると、

(6)　∬(∇×δVG)・(∇×VG)dr

=∬∇・(δVG×(∇×VG))　+(∇×(∇×VG))・δVG dr

(6)式を(4)式に代入すれば、

δE=2*∬∇・(δVG×(∇×VG))　+(∇×(∇×VG))・δVG dr

第1項はガウスの定理を利用することで、境界面での積分となります。
dVSを面素辺ベクトルとします。

=2*∬(δVG×(∇×VG))・ dVS　+2*∬(∇×(∇×VG))・δVG dr

境界面で、変分δVG=V0(注：V0は(0,0,0)の0ベクトルの意味)になることを想定して、第1項の境界での面積分は0として落とします（あるいは、境界を無限円にとり、想定するベクトル場が0になることを仮定して面積分を落とします）。

δE[G]=2*∬(∇×(∇×VG))・δVG dr

誤記、誤計算、ウソがありましたらゴメンナサイ。

お礼

丁寧な回答、本当にありがとうございました。
とても助かりました。

回答No.1

brogie

(rot(X+dX))**2
はベクトルのスカラー積ですから、各成分の積の和を求めればよいでしょう。テクテク計算すればよいことです。

計算して解らない所があれば補足して下さい。