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剛体衝突について

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  • 質問No.147885
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お礼率 80% (12/15)

  静止している剛体球Aに、同じく剛体である球Bを斜めに衝突させると、

 衝突後の球A、球Bの動く方向は、衝突時の球A、球Bの位置が決まれば 

 おのずと判るのですか。そうであれば どのようなルールに基ずいているのか

 教えて下さい。

 
 
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質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.4
レベル10

ベストアンサー率 44% (89/202)

>? Zincerさんの
>VB1x-VA1x=VA0x(=V0cosθ) ・・・(1)’
>(V0cosθ=)VA0x=VA1x+VB1x ・・・(2)’
>の連立って、答えがでないような? (VA1x=0?)
失礼しました。私の計算は速度V0を持つ球Aを、静止している球Bに衝突させた場合ですね。
tokomaiwasaさんの設定と逆の為、tococheさんの誤解を招いたものと思いますが、考え方は一緒です。
上の式をtokomaiwasaさんの設定の場合に修正しますと、(添え字のAとBをいれかえるだけですが)
VA1x-VB1x=VB0x(=V0cosθ) ・・・(1)’
(V0cosθ=)VB0x=VB1x+VA1x ・・・(2)’
となり、
VB1x=0
VA1x=VB0x=V0cosθ
ついでにy軸方向は(衝突前後で変化無し)
VB1y=V0sinθ
VA1y=0
と、なりますね。

修正ついでに補足しておきますが、tococheさんの
>同時にエネルギー保存の法則が成立するもののみが、解として生き残ると考えています。
という、表現には誤解がはいっていませんか?たしかに(総)エネルギーは保存されるでしょうが、私の言った「運動エネルギー」は保存されません。
極例として、θ=0°(正面衝突?)、μ=0(衝突と同時に接合し球ABが一緒に動く場合:brogieさんの言葉を借りれば「完全非弾性衝突」)を考えて見ましょう。(ちなみにμ=1の場合を「完全弾性衝突」と呼びます。これ以外を「非弾性衝突」と呼びます。)
【衝突前】
M・V0^2/2
【衝突後】
計算は省きますが、質量が2Mになるので、
VA=VB=1/2V0 ですから
[2M・(1/2V0)^2]/2=M・V0^2/4
と、運動エネルギーは衝突前の半分になります。
お礼コメント
tokomaiwasa

お礼率 80% (12/15)

 ご丁寧なお答え感謝致します。tococheさんに対するお答えも、助けと

 なり何とか理解できました。本当に有難う御座いました。これからも宜しく

 お願い致します。
  
 
投稿日時 - 2001-10-12 21:18:21
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その他の回答 (全3件)

  • 回答No.1
レベル11

ベストアンサー率 33% (131/392)

ビリヤードの動きを観察されると、大体のボールの動きがわかりますが、衝突後 の2つのボールは異なるスピードで回転していて、大変複雑ではないでしょうか?  初期条件が与えられると、その後の運動は、古典力学では確定しますから、衝突後の2つのボールの運動は分かる筈です。しかし、解析的に解けるかどうか、ということとは別問題です。  動いているボールの並進スピードと回転スピードはいくらか? また、回転 ...続きを読む
ビリヤードの動きを観察されると、大体のボールの動きがわかりますが、衝突後
の2つのボールは異なるスピードで回転していて、大変複雑ではないでしょうか?

 初期条件が与えられると、その後の運動は、古典力学では確定しますから、衝突後の2つのボールの運動は分かる筈です。しかし、解析的に解けるかどうか、ということとは別問題です。

 動いているボールの並進スピードと回転スピードはいくらか?
また、回転はどういう方向に回転しているか?
ボールとボール、ボールと床の摩擦係数はどうか?
弾性衝突か非弾性衝突か?
など、tokomaiwasaさんが以前質問されておられる、コインの問題より複雑になるでしょう?
お礼コメント
tokomaiwasa

お礼率 80% (12/15)

 
 お答え有難う御座いました。お礼が遅くなり申し訳御座いませんでした。

 色んな要素が絡み複雑ですね。今しばらく考えて見ます。
投稿日時 - 2001-10-12 20:39:44


  • 回答No.2
レベル10

ベストアンサー率 44% (89/202)

一応回答が得られているみたいですが、私のわかる範囲で条件を拡張しておきます。 1.無重量空間に2つの球は浮いているとします。 (床面でも摩擦の無い状態で滑っていけば同条件ですが、回転運動が入るとbrogieさんの仰るようにより複雑な式が必要になるため、パスさせてください。) 2.抵抗、両球間の摩擦及び万有引力は無視します。 (永遠に球の運動は止まることはありませんが、勘弁してください。) す ...続きを読む
一応回答が得られているみたいですが、私のわかる範囲で条件を拡張しておきます。
1.無重量空間に2つの球は浮いているとします。
(床面でも摩擦の無い状態で滑っていけば同条件ですが、回転運動が入るとbrogieさんの仰るようにより複雑な式が必要になるため、パスさせてください。)
2.抵抗、両球間の摩擦及び万有引力は無視します。
(永遠に球の運動は止まることはありませんが、勘弁してください。)

すべての衝突(接触)直前の両球間の速度が、

↓(V0)
○●  ~  →○●
θ=90   θ=0
(後の説明の為 →:x軸  ↓:y軸とします)

の間にあることはご理解いただけますでしょうか?
(tococheさんの回答のθ(0~90°)と対応させています。)
後は下式で定義される跳ね返り係数μが与えられれば、衝突前後のそれぞれの球の速度は計算されます。(tococheさんの回答はμ=1とした場合で、剛体球の場合はμ≒1として良いはずです。)
μ=(VA0x-VB0x)/(VB1x-VA1x) ・・・(1)
<要するにx軸方向(両球間の中心軸方向)の両球間の相対速度の比に-1を掛けたもの。>
tokomaiwasaさんの条件の場合は
VB1x-VA1x=VA0x(=V0cosθ) ・・・(1)’
【VA0x,VA1x は球Aの衝突前(0)と後(1)のx軸方向の速度を意味しています。】

ここでもう1つx軸方向の運動量保存則を適応します。
MA×VA0x+MB×VB0x=MA×VA1x+MB×VB1x ・・・(2)

tokomaiwasaさんの条件(MA=MB?)の場合は
(V0cosθ=)VA0x=VA1x+VB1x ・・・(2)’
【MA,MBは球ABの質量】
これで衝突後の両球のx軸方向の速度が算出されます。(tococheさんの回答は(1)’と(2)’の連立方程式から得られる解です。)

両球間に摩擦が無い場合はy軸方向のそれぞれの速度成分は変化しません。衝突後の速度はそれぞれのx軸方向とy軸方向の速度ベクトルの和のなります。

一応補足しておきますが、衝突前後で運動エネルギーの総和が保存されるのはμが1の場合のみです。

こんなもんでいかがでしょうか?
  • 回答No.3
レベル10

ベストアンサー率 36% (65/180)

tococheです。 ? Zincerさんの VB1x-VA1x=VA0x(=V0cosθ) ・・・(1)’ (V0cosθ=)VA0x=VA1x+VB1x ・・・(2)’ の連立って、答えがでないような? (VA1x=0?) 衝突後の挙動は運動量保存の法則に従いますが、運動量保存の法則を満たす速度の組み合わせはいっぱいあるので、同時にエネルギー保存の法則が成立するもののみが、解として ...続きを読む
tococheです。

? Zincerさんの
VB1x-VA1x=VA0x(=V0cosθ) ・・・(1)’
(V0cosθ=)VA0x=VA1x+VB1x ・・・(2)’
の連立って、答えがでないような? (VA1x=0?)

衝突後の挙動は運動量保存の法則に従いますが、運動量保存の法則を満たす速度の組み合わせはいっぱいあるので、同時にエネルギー保存の法則が成立するもののみが、解として生き残ると考えています。

この直角解については、中学のときに読んだ物理の本(もう持っていない)に粒子の軌跡を示した図があり、「衝突後の軌跡は運動量保存の法則に従い直角となる」とあったので、運動量保存の法則を知ったとき直角解を図形的に見て、なるほどと納得しました。(運動エネルギーの方は、そのまんま三平方の定理でOKですから)
直角解を数学的に導き出したわけではないので、数学的なことはちょっと弱いですが。
お礼コメント
tokomaiwasa

お礼率 80% (12/15)

 tococheさんの質問を絡めたZincerさんの説明から、何とか
 
 理解するこたができました。ありがとう御座いました。
投稿日時 - 2001-10-12 21:25:06
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