この証明問題は

質問

xyz=1のとき、{x/(xy+x+1)}+{y/(yz+y+1)}+{z/(zx+z+1)}=1が成り立つことを証明するとき、どのようにすればよいでしょうか。

回答No.4

koma1000nin

xyz=1ということは、x≠0，y≠0,z≠0ですから、安心して
(1)x=1/yz
(2)y=1/xz
(3)z=1/xy
(4)1/xyz=1
の関係を利用してよろしいです。

回答No.3

ryn

補足です．

No.1 さんのやり方での約分するときや
No.2 さんのやり方で z=1/xy と置くときに
xyz=1 より x,y,z≠0 であることを
一言書いておけばよいと思います．

回答No.2

postro

正攻法でやります。z=1/xy　を左辺に代入して整理する。
{x/(xy+x+1)}+{y/(yz+y+1)}+{z/(zx+z+1)}
={x/(xy+x+1)}+{y/(1/x+y+1)}+{(1/xy)/(1/y+(1/xy)+1)}
={x/(xy+x+1)}+{xy/(1+xy+x)}+{1/(x+1+xy)}
=(xy+x+1)/(xy+x+1)=1

回答No.1

ftomo100

ポイントだけ。

{x/(xy+x+1)}+{y/(yz+y+1)}+{z/(zx+z+1)}

={x/(xy+x+xyz)}+{y/(yz+y+xyz)}+{z/(zx+z+xyz)}

={1/(y+1+yz)}+{y/(yz+y+xyz)}+{1/(x+1+xy)}

={xyz/(y+xyz+yz)}+{y/(yz+y+xyz)}+{xyz/(x+xyz+xy)}

=以下省略

与式の1の部分にxyzを代入->約分を繰り返していく。分母が共通の形になるようにしていくと、与式=1となる。