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包絡線がわかりません
stomachmanの回答
- stomachman
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x,yはtと無関係? x,y,tをそれぞれ好きな値にして y=2tx-(t+1)^2 が成り立つ訳じゃないでしょう? あるいは、x, yがtと関係ないのなら、どうしてx=t+1なんて関係が出てくるんでしょう? おかしなことが起こるのは、x,yの意味を式によってころころ変えてしまっているからです。 No.2では<x,y>は初めのうちは直線上の任意の点を表していたのが、いつのまにやら包絡線上の点を表すものに化けている。これらをきちんと区別してみましょう。 二本の直線 y=2tx-(t+1)^2 y=2(t+δ)x-(t+δ+1)^2 の交点を<x[δ],y[δ]>とする。 より正確には、 L[t] = {<x,y> | y=2tx-(t+1)^2} とするとき、 {<x[δ],y[δ]>} = L[t] ∩ L[t+δ] です。 つまり連立方程式 y[δ]=2tx[δ]-(t+1)^2 y[δ]=2(t+δ)x[δ]-(t+δ+1)^2 の解が<x[δ],y[δ]>である。 そしてδ→0としたときの交点、すなわち<x[0],y[0]>は包絡線上にある(なぜ包絡線上に来るかは、ここでは\(^^\) (/^^)/置いといて)。 具体的に解いてみましょう。y[δ]を消去して 2tx[δ]-(t+1)^2 =2(t+δ)x[δ]-(t+δ+1)^2 移項して 0 = 2δx[δ]-2δ(t+1)-δ^2 よって x[δ] = (t+1)+δ/2 y[δ] =2t((t+1)+δ/2)-(t+1)^2 = t^2+δt-1 です。そして <x[0],y[0]>=lim {δ→0} <x[δ],y[δ]> ですから、 x[0] = t+1 y[0] = t^2-1 ちょっとやり方を変えてこの計算をしてみましょう。 y[δ]=2tx[δ]-(t+1)^2 y[δ]=2(t+δ)x[δ]-(t+δ+1)^2 差を取ると 0 = 2δx[δ]-((t+δ+1)^2 - (t+1)^2) 両辺をδで割ると 0 = 2x[δ]-((t+δ+1)^2 - (t+1)^2)/δ δ→0の極限を取ると 0 = 2x[0] - lim{δ→0}((t+δ+1)^2 - (t+1)^2)/δ このlimの中身は d((t+1)^2)/dt に他なりませんから 0 = 2x[0] - d((t+1)^2)/dt この微分を計算すると 0 = 2x[0] - 2(t+1) かくて x[0] = t+1 を得ます。 これがNo.2の方法で旨く行っちゃうからくりです。
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>おかしなことが起こるのは、x,yの意味を式によってころころ変えてしまっているからです。 No.2では<x,y>は初めのうちは直線上の任意の点を表していたのが、いつのまにやら包絡線上の点を表すものに化けている。これらをきちんと区別してみましょう。 なるほど、区別するとこうなるのですね。お返事どうもありがとうございます。なるほど、そういうことだったのですか、わかりました。どうもありがとうございました。