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包絡線がわかりません

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「実数tが変化するとき、直線y=2tx - (t+1)^2 がとおりえる範囲を図示せよ」という問題なのです。定石はtの2次方程式として、実数条件より解くのだと思うのですが、包絡線で考えた場合、そのtの2次方程式に実数条件Dを使ったときに出てくる式がなぜ包絡線なのかよくわかりません。これは、直接考えるのではなくて、「tの2次方程式として、実数条件より解いた結果」から考察すると、その軌跡が曲線になるので、もとの直線 y=2tx - (t+1)^2 はその曲線の接線だということでしょうか。それと、問題文の直線 y=2tx - (t+1)^2 とこれに実数条件を使った y=x^ - 2x という式を連立すると、x=t+1 で接するということがわかると思うのですが、このx=t+1がx=3tでもx=4t+3でもtが変数なのだから、図示してみるとどれもy≦x^2 - 2x と同じ領域を表す図になると思うのですが、なぜこれは違うのでしょうか。
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質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.1
レベル9

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s-wordさんのやっているのは逆の対応の概念による解法です。tの存在条件から包絡線の接点を考える解法です。その解法は実は非常に経験的な解法で私はあまり美しい解法であると思いません。そこでtを直接動かすわかりやすい解法をお教えしましょう。そこらの凡庸な予備校講師では真似の出来ない解法であると思います。

<解>
y=2tx-(t+1)^2…(1)の両辺をtで微分すると、
0=2x-2(t+1)
よって、x=(t+1)で包絡線Cに接する。
また接点y=2t(t+1)-(t+1)^2 
     =t^2-1
よって、直線(1)は接点(x,y)=(t+1,t^2-1)で包絡線Cに接しつつ動く。
これより、C:y=(x-1)^2-1=x^2-2x
接線(1)はいつも曲線y=x^2-2xの下側を接しつつ通るので、
求める領域は「y≦x^2-2x」

<解説>はこれから書くので待っててください。
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  • 回答No.6
レベル9

ベストアンサー率 29% (14/47)

stomachmanさんの問題をやろう。 「実数tが変化するとき、曲線y=x^2 + (t^2)x+t^2 がとおりえる範囲を図示せよ」 これはもう逆の対応でやるしかない。 点(x,y)が題意の領域に属する ⇔点(x,y)についてy=x^2 + (t^2)x+t^2を満たす実数tが存在する。 ⇔点(x,y)についてをy=x^2 + (t^2)x+t^2満たす実数解を持つ。 ⇔tについて整 ...続きを読む
stomachmanさんの問題をやろう。
「実数tが変化するとき、曲線y=x^2 + (t^2)x+t^2 がとおりえる範囲を図示せよ」
これはもう逆の対応でやるしかない。
点(x,y)が題意の領域に属する
⇔点(x,y)についてy=x^2 + (t^2)x+t^2を満たす実数tが存在する。
⇔点(x,y)についてをy=x^2 + (t^2)x+t^2満たす実数解を持つ。
⇔tについて整理した t^2(x+1)+x^2-y=0が実数解を持つ。

x=-1のとき、y=1…(1)
よって実数解を持つ。

x≠-1のとき、判別式≦0で実数解を持つ。
D=0-(x+1)(x^2-y)≦0
⇔(x+1)(x^2-y)≧0

よって求める領域は
x<-1のとき、x^2≦y…(2)
-1<xのとき、y≦x^2…(3)

(2)式、(3)式と(1)式より、求める領域は、
x<-1のとき、x^2≦y
x=-1のとき、y=-1
-1<xのとき、y≦x^2

つまり問題によって解法を使い分けるということだね。
以上


  • 回答No.7
レベル14

ベストアンサー率 57% (1014/1775)

「判別式の結果から、経験的に放物線を思い浮かべて」或いは定石だの逆のナンとかだの、そういった受験数学テクニックの話をなさっているのであれば、以下無視してください。 一般に 「f(x,y,t)=0 を満たす実数tが存在するような、実数の対<x,y>の集合Aを求めよ。」 と言われれば、問題文そのまんま、 A = {<x,y> | ∃t(t∈R ∧ f(x,y,t)=0) } ...続きを読む
「判別式の結果から、経験的に放物線を思い浮かべて」或いは定石だの逆のナンとかだの、そういった受験数学テクニックの話をなさっているのであれば、以下無視してください。

一般に
「f(x,y,t)=0 を満たす実数tが存在するような、実数の対<x,y>の集合Aを求めよ。」
と言われれば、問題文そのまんま、
A = {<x,y> | ∃t(t∈R ∧ f(x,y,t)=0) }
で答になってる訳ですが、さらに「Aを媒介変数tを使わないで(x,yだけで)表せ。」と注文されている訳です。要するに「tを消去せよ。」ということ。
 tをある値に固定したときにf(x,y,t)=0が曲線や直線になっている、というのは問題の本質から言えばどうでも良いことです。
 例えば「yを固定してA(y) = {x| ∃t(t∈R ∧ f(x,y,t)=0) }を求める」というやり方でも構わない。
 包絡線で囲まれた領域がAであるなら、No.5でご紹介した方法で包絡線を求めるのも良い。
 まあ、好き勝手に攻めれば良いので、そうでなくては面白くも何ともないじゃありませんか。

tによる微分が全く無力である一例として
f(x,y,t) = x/y - [t]
は如何でしょう。ここに[t]は「tを越えない最大の整数」です。
お礼コメント
s-word

お礼率 86% (456/526)

「実数tが変化するとき、曲線y=x^2 + (t^2)x+t^2 がとおりえる範囲を図示せよ」
「実数tが変化するとき、直線y=2tx - (t+1)^2 がとおりえる範囲を図示せよ」という問題なのです。
-------------
ここについてなのですが、上の式をどうやったら下の式になるのでしょうか。2つの式の関係がわかりません。

-----------

 さて、問題にしている曲線がもし
(a) どこかで必ず包絡線と接していて、しかも
(b) パラメータtを微小に動かしたときにその交点も微小に動くのであれば、
パラメータtで決まる曲線とパラメータt+dt (dtは無限小)で決まる曲線との交点のうちの一つは包絡線上にあります。
 直線の場合、交点は高々1個しかありません。ですから(a)(b)が成り立っているなら、2本の直線
y=2tx - (t+1)^2

y=2(t+dt)x - (t+dt+1)^2
-----------
問題にしているのはどの直線なのでしょうか。
それと、2本の直線がどうやって出てきたのかわかりません。すいません、よろしくおねがいします。
投稿日時 - 2001-09-26 23:35:36
  • 回答No.5
レベル14

ベストアンサー率 57% (1014/1775)

 ご質問の問題の場合には、tが幾らであっても直線が包絡線に接していて、接点は<t+1,2t(t+1) - (t+1)^2>である。この接点の集合が包絡線です。包絡線は媒介変数tを使って x=t+1, y=2t(t+1) - (t+1)^2と書いても良いし、t=x-1ですからtを消去して y=2(x-1)x-x^2と書いても良い。  これを改めて別の媒介変数s(ただしx=4s+3)を使って ...続きを読む
 ご質問の問題の場合には、tが幾らであっても直線が包絡線に接していて、接点は<t+1,2t(t+1) - (t+1)^2>である。この接点の集合が包絡線です。包絡線は媒介変数tを使って x=t+1, y=2t(t+1) - (t+1)^2と書いても良いし、t=x-1ですからtを消去して y=2(x-1)x-x^2と書いても良い。
 これを改めて別の媒介変数s(ただしx=4s+3)を使って
x=4s+3, y=2(4s+2)(4s+3)-(4s+3)^2
と書いても一向に構いません。tとsは別物である。この点が混乱しているのでは?

以下蛇足ですが...

 No.3で仰っている通り、No.1の方法はおぼえるようなもんじゃありません。
なにしろさっぱり応用がききません。
「実数tが変化するとき、直線y=x + t^2 がとおりえる範囲を図示せよ」
という問題だったら、どうでしょう?
いやいや、元の問題の両辺にtを掛け算しただけの
「実数tが変化するとき、直線ty=2(t^2)x - t(t+1)^2 がとおりえる範囲を図示せよ」
ではどうですか?
相手が曲線でも手も足も出ない。例えば
「実数tが変化するとき、曲線y=x^2 + (t^2)x+t^2 がとおりえる範囲を図示せよ」

 さて、問題にしている曲線がもし
(a) どこかで必ず包絡線と接していて、しかも
(b) パラメータtを微小に動かしたときにその交点も微小に動くのであれば、
パラメータtで決まる曲線とパラメータt+dt (dtは無限小)で決まる曲線との交点のうちの一つは包絡線上にあります。
 直線の場合、交点は高々1個しかありません。ですから(a)(b)が成り立っているなら、2本の直線
y=2tx - (t+1)^2

y=2(t+dt)x - (t+dt+1)^2
の交点は包絡線上にある。この交点を求めると
2tx -2(t+dt)x = (t+1)^2- (t+dt+1)^2
従って
<x,y> = <((t+dt+1)^2 - (t+1)^2 )/(2dt), 2tx - (t+1)^2>
がその交点です。交点のx座標はx=d((t+1)^2/2) / dt になってる。
これは((a)(b)が成り立つなら)曲線がy=....という形で与えられていなくても言える事です。
お礼コメント
s-word

お礼率 86% (456/526)

お返事ありがとうござい増しす。

>No.3で仰っている通り、No.1の方法はおぼえるようなもんじゃありません。

そうすると、判別式の結果から、経験的に放物線を思い浮かべて、放物線を書くということで良いのでしょうか。
投稿日時 - 2001-09-26 03:17:05
  • 回答No.4
レベル9

ベストアンサー率 29% (14/47)

変数…1方が1つ決まると他方も1つ決まる、つまり「伴って変わる」 2つ1組の数。 y=f(x)で言うとyが従属変数、xが独立変数という。 定数…変数以外の数 「伴わないで変わる」…任意定数(パラメータ、y=axのaなど) 「伴わないで変わらない」…与えられた定数(y=2x) 任意定数∋媒介変数であって、任意定数の意味は媒介変数だけではない。 ここを間違ってはいけない。 ...続きを読む
変数…1方が1つ決まると他方も1つ決まる、つまり「伴って変わる」
2つ1組の数。
y=f(x)で言うとyが従属変数、xが独立変数という。

定数…変数以外の数
「伴わないで変わる」…任意定数(パラメータ、y=axのaなど)
「伴わないで変わらない」…与えられた定数(y=2x)

任意定数∋媒介変数であって、任意定数の意味は媒介変数だけではない。
ここを間違ってはいけない。

私はこのように習いました(教えてもらいました)。「いや、違うよ」という方もいると思いますが、おそらくそれは間違った指導だと思います。

次に下記ですが、
>「f(t)=2tx-(t+1)^2 -y のようにしてから、tで微分すると、…」
「=0」を忘れています。

私は下記のように書いていると思います。
「y=2tx-(t+1)^2…(1)の両辺をtで微分すると…」
ですからyを移項すると、
0=-y+2tx-(t+1)^2の両辺をtで微分すると、という風になるはず。
疲れてますね?

>「それと、微分するというのは、ある点の傾きを調べるということですよね。これは、接点を求めることとイコールなのでしょうか。」
tで微分すると書きましたが、結果を見るとtがない、つまりtを動かしきって求める領域の式だけになりましたよね。
解法のアプローチとしてはtの値を細かく「代入」して領域を推定することだよね。
しかし、いつまで経っても求める領域を表わすことは出来ない。それはtが全ての実数を動くからだ。だからこの場合tを動かす方法としては適当ではない。
だが「微分」を使ったら全てのtを動かせたのだ(実は平方完成でも出来る)。
これはどういうことか。つまり「微分」も文字を動かす道具ということだ。
(ある曲線の最大値を求めるという問題を思い浮かべてほしい。解くときに「代入」と「微分」を駆使している。)

逆のことやっているんだよね。
曲線y=x^2-2xの点x=t+1における接線の傾きを求める。⇔接線の方程式y=2tx-(t+1)^2を求める。

逆に、
直線y=2tx-(t+1)^2が曲線y=x^2-2xのx=t+1による接線の方程式であることがわかる。

しかし後者は逆の対応による解法をやっているのではない。tを直接動かしているからね。これはおそらくxで微分するのとtで微分することの違いだと思う。
それ以上は浅学な私では答えを出すことは出来ない。ごめんね。
お礼コメント
s-word

お礼率 86% (456/526)

ご回答してくださってどうもありがとうございます。
>定数…変数以外の数
「伴わないで変わる」…任意定数(パラメータ、y=axのaなど)
「伴わないで変わらない」…与えられた定数(y=2x)

今まで何もかもがごちゃ混ぜで混乱していたのですが、変数と任意定数などの違いを教えてもらえて良かったです。パラメーターも任意定数と考えれば理解がまします。

>私は下記のように書いていると思います。
「y=2tx-(t+1)^2…(1)の両辺をtで微分すると…」
ですからyを移項すると、
0=-y+2tx-(t+1)^2の両辺をtで微分すると、という風になるはず。

はい、すいません、私もそう思ったのですが、「x,yはtとは無関係だから、y=2tx-(t+1)^2=f(t)をそのままtで微分して・・・」のところの終わりの=f(t) が気になった物で。ちょっと混乱してきたのですが、
例えば、f(t)=3t^2 + 2t を微分すると、
f'(t)=6t + 2 になりますよね。これと、f'(t)=0を連立して、極値を求めると思うのですが、上のy=2tx-(t+1)^2 をtで整理して、2tx-(t+1)^2 -y =0
この方程式をf(t)とおいてf(t)=2tx-(t+1)^2 -yにしてから、微分するとf'(t)=2x-2(t+1)になると思うのですが、これは、上の式とどう違うのでしょうか。f(t)を導入したことが間違えなのでしょうか。

>逆のことやっているんだよね。
曲線y=x^2-2xの点x=t+1における接線の傾きを求める。⇔接線の方程式y=2tx-(t+1)^2を求める。
逆に、
直線y=2tx-(t+1)^2が曲線y=x^2-2xのx=t+1による接線の方程式であることがわかる。

すばらしい解法ですね。感激しました。これで以降の問題も解いていこうと思います。どうもありがとうございます。
投稿日時 - 2001-09-26 02:11:48
  • 回答No.2
レベル9

ベストアンサー率 29% (14/47)

<解説> y=2tx-(t+1)^2…(1)は直線の方程式であることは言うまでもないと思う。 ちょっとここで反則なことさせてもらいたい。直線(1)は曲線y=x^2-2xのx=t+1での接線の方程式であることはわかるはずだ。このように直線の方程式で任意定数tがどこかについてあるものは必ずある曲線Cにある点で接するのである。私はtを直接動かすと言ったが上記のことをふまえた上で解いているのである。 つまり ...続きを読む
<解説>
y=2tx-(t+1)^2…(1)は直線の方程式であることは言うまでもないと思う。
ちょっとここで反則なことさせてもらいたい。直線(1)は曲線y=x^2-2xのx=t+1での接線の方程式であることはわかるはずだ。このように直線の方程式で任意定数tがどこかについてあるものは必ずある曲線Cにある点で接するのである。私はtを直接動かすと言ったが上記のことをふまえた上で解いているのである。
つまり、tを含む方程式はある点x=g(t)(y=h(t)で考えた方が美しく解ける場合もある)で曲線Cに接するということを勘(ゴーストのささやき)で理解し、その接点を求め、接点のパラメーター表示から曲線Cを求めるということをやる。ここでは直線y=2tx-(t+1)^2がx=(t+1)で接するということまではわからないが、ある点で接するということはわかっているものとする。

L(t):y=2tx-(t+1)^2と置く。Lは接点Pで「ある曲線C」に接しているものとする。
tを微少量Δtだけ動かすとLはL’まで動き、Cとの接点はPからP’にに変わる。
さてLとL’の交点をRとする。Rは次の直線(1)と(2)の交点の座標である。
y=2tx-(t+1)^2=f(t)…(1)
y=2(t+Δt)x-(t+Δt+1)^2=f(t+Δt)…(2)

(2)-(1)より、yを消去、 ……………………………………………☆1
0=2Δtx-2Δt(t+1)-(Δt)^2
両辺をΔt>0で割って、
0=2x-2(t+1)-Δt
よって接点x=t+1+Δt/2=Rx…………………………………………☆2

接点y=2t{(t+1)+(Δt)/2}-(t+1)^2…(1)
   =t^2-1+tΔt=Ry
∴R{t+1+Δt/2,t^2-1+tΔt}…(3)
今、Δt→0とすると、L’→Lであり、同時にP’→P,R→Pとなる。

よって、(3)でΔt→0としたときの極限値は、……………………………☆3
R{t+1+Δt/2,t^2-1+tΔt}→P(t+1,t^2-1)であり、
点Pはある曲線Cの接点であるから、
C:(x,y)=(t+1,t^2-1)→C:y=(x-1)^2-1=x^2-2x
∴直線Lはx=t+1で曲線C:y=x^2-2xに接しつつ動く。

問題文より、tは全実数である。また曲線Cは下に凸の関数であるので、
求める領域は「y≦x^2-2x」 である。

<考察>
原理を説明すると、上記<解説>のようになるが、
☆1→☆2→☆3の流れをよく見てみると、

☆1:f(t+Δt)-f(t)を作る。

☆2:{f(t+Δt)-f(t)}/Δtを作る。

☆3:(limΔt→0)[{f(t+Δt)-f(t)}/Δt]を計算。

となっているよね。
つまり、x,yはtとは無関係だから、y=2tx-(t+1)^2=f(t)をそのままtで微分して、x=t+1…(あっという間に接点xが求まる)
よって、
P:(x,y)=(t+1,t^2-1)…(代入してあっという間に接点yもまとまる)
Pは曲線Cの接点。
よって、曲線C:y=x^2-2x…(あっという間に包絡線!)
後は同じ。

どうですか。簡単でしょう。
お礼コメント
s-word

お礼率 86% (456/526)

お返事してくださってありがとうございます。

><解説>
「・・・・・このように直線の方程式で任意定数tがどこかについてあるものは必ずある曲線Cにある点で接するのである。・・・・」

この部分についてなのですが、任意定数tは2次以上の式だから、曲線Cに接するんですよね。tが1次の場合は、包絡点になりますよね。

-------
つまり、x,yはtとは無関係だから、y=2tx-(t+1)^2=f(t)をそのままtで微分して、x=t+1…(あっという間に接点xが求まる) よって、
P:(x,y)=(t+1,t^2-1)…(代入してあっという間に接点yもまとまる)
Pは曲線Cの接点。 よって、曲線C:y=x^2-2x…(あっという間に包絡線!)
後は同じ。 どうですか。簡単でしょう。

わかりました!!上の式は丁寧に微分の過程を説明していただいていたのですね。文型なので、今までは、微分するというとは接線の式を求めることだけだと思っていたのですが、上のように軌跡も求められるんですね。教えてくださった考え方でいくと、疑問のひとつの「x=t+1 で接するということがわかると思うのですが、このx=t+1がx=3tでもx=4t+3でもtが変数なのだから、図示してみるとどれもy≦x^2 - 2x と同じ領域を表す図になると思うのですが、なぜこれは違うのでしょうか。」というのもわかりました。tを動かしていく方が理解しやすいですね。
--------

ところで、任意定数と変数の違いがわからないのですが。どう区別すればよいのでしょうか。
それと、
>x,yはtとは無関係だから、y=2tx-(t+1)^2=f(t)をそのままtで微分して、x=t+1…(あっという間に接点xが求まる)

の部分にについてなのですが、y=2tx-(t+1)^2をこのままtで微分すると、0=2x - 2(t+1) になってx=t+1が出てくると思うのですが、もし上の式を
f(t)=2tx-(t+1)^2 -y のようにしてから、tで微分すると、
f'(t)=2x - - 2(t+1) となって、普通のtの式になってしまうのですが、どう違うのでしょうか。
それと、微分するというのは、ある点の傾きを調べるということですよね。これは、接点を求めることとイコールなのでしょうか。
投稿日時 - 2001-09-25 00:49:08
  • 回答No.3
レベル9

ベストアンサー率 29% (14/47)

逆の対応による解法 点(x,y)が題意の領域に属する ⇔点(x,y)についてy=2tx-(t+1)^2を満たす実数tが存在する。 ⇔点(x,y)についてy=2tx-(t+1)^2を満たす実数解を持つ。 ⇔y=2tx-(t+1)^2をtについて整理した、t^2+(2-2x)t+1+y=0が実数解を持つ。 ⇔D/4≧0より、(1-x)^2-(1+y)≧0 ⇔x^2-2x≧y となり、この ...続きを読む
逆の対応による解法
点(x,y)が題意の領域に属する
⇔点(x,y)についてy=2tx-(t+1)^2を満たす実数tが存在する。
⇔点(x,y)についてy=2tx-(t+1)^2を満たす実数解を持つ。

⇔y=2tx-(t+1)^2をtについて整理した、t^2+(2-2x)t+1+y=0が実数解を持つ。
⇔D/4≧0より、(1-x)^2-(1+y)≧0
⇔x^2-2x≧y

となり、この場合はこの方法でも簡単に出来る。しかしtに制限がついた場合、判別式、軸、端点の値を考慮する必要。NO1で私が示した解は応用力があるので超おすすめなのだが無理して覚えなくても良い。

質問の意味がよくわからないんですが、この解法は別に包絡線のことを考えないで済むので悩む必要はないんじゃないですか?
お礼コメント
s-word

お礼率 86% (456/526)

ご回答ありがとうございます。

>質問の意味がよくわからないんですが、この解法は別に包絡線のことを考えないで済むので悩む必要はないんじゃないですか?

はい、この問題では、包絡線を考えないでよいと書いてあったのですが、仰るように「tに制限がついた場合、判別式、軸、端点の値を考慮する必要がある」場合は、包絡線の考え方を身につけた方が良いと書いてありました。下で御説明をしてくださったのが、一読してもよくわからなかったところがあるので、もう一度読んでみます。たしかに、私の書き込みから包絡線を考えるのは経験的な考え方ですね。
投稿日時 - 2001-09-25 00:00:39
  • 回答No.8
レベル14

ベストアンサー率 57% (1014/1775)

No.7に関するご質問の意図がもうひとつよく分からないんですが… >「実数tが変化するとき、曲線y=x^2 + (t^2)x+t^2 がとおりえる範囲を図示せよ」 >「実数tが変化するとき、直線y=2tx - (t+1)^2 がとおりえる範囲を図示せよ」という問題なのです。 > ------------- > ここについてなのですが、上の式をどうやったら下の式にな ...続きを読む
No.7に関するご質問の意図がもうひとつよく分からないんですが…

>「実数tが変化するとき、曲線y=x^2 + (t^2)x+t^2 がとおりえる範囲を図示せよ」
>「実数tが変化するとき、直線y=2tx - (t+1)^2 がとおりえる範囲を図示せよ」という問題なのです。
> -------------
> ここについてなのですが、上の式をどうやったら下の式になるのでしょうか。
> 2つの式の関係がわかりません。

もちろん両者は無関係。前者はNo.1の解法がそのままでは旨く行かない例として挙げた問題であり、後者はご質問の問題です。2つの問題の間には何の関係もありません。

> 問題にしているのはどの直線なのでしょうか。

厳密に言えば、問題にしてるのは直線じゃなくて関数
f(x,y,t) = 2tx - (t+1)^2 - y
ですね。

> それと、2本の直線がどうやって出てきたのかわかりません。

tを定数であると考えれば
y=2tx - (t+1)^2
を満たす<x,y>の集合は一つの直線です。
また微少量dtを使ってtをt+dtで置き換えた式(t+dtを定数と考えて)
y=2tx - (t+1)^2
を満たす<x,y>の集合もまた一つの直線です。これら2本の交点が包絡線上にある。

どんなtについても同じようにして(包絡線上にある)交点が求められ、従って包絡線上にある点の集合が得られます。
お礼コメント
s-word

お礼率 86% (456/526)

ご回答くださってどうもありがとうございます。すいません、何度もお聞きして申し訳ないのですが、

>直線の場合、交点は高々1個しかありません。ですから(a)(b)が成り立っているなら、2本の直線
y=2tx - (t+1)^2

y=2(t+dt)x - (t+dt+1)^2
の交点は包絡線上にある。この交点を求めると
2tx -2(t+dt)x = (t+1)^2- (t+dt+1)^2
従って
<x,y> = <((t+dt+1)^2 - (t+1)^2 )/(2dt), 2tx - (t+1)^2>
がその交点です。交点のx座標はx=d((t+1)^2/2) / dt になってる。

ここから、どうやってdとtを消去して、y=(xの式)のようにするのでしょうか。tだけだったら普通にやればよいと思うのですが、2文字あるので、どうやって包絡線を求めればよいのかよくわかりません。
投稿日時 - 2001-09-28 01:05:36
  • 回答No.9
レベル9

ベストアンサー率 29% (14/47)

gooで調べた結果、下記ページがありました。その考え方4を見てください。 そこに私が示した微分を使う解法が載っています。 微分を文字を動かす道具ととらえています。(これも私が示しましたね) 残念ながらそれ以上のことは載ってなく、なぜそうやっていいのかが載っていません。受検テクニックなどと表現していますが、技法を真に理解していなければそれらを使ってはいけないということがどうもわかってないようだ。 も ...続きを読む
gooで調べた結果、下記ページがありました。その考え方4を見てください。
そこに私が示した微分を使う解法が載っています。
微分を文字を動かす道具ととらえています。(これも私が示しましたね)
残念ながらそれ以上のことは載ってなく、なぜそうやっていいのかが載っていません。受検テクニックなどと表現していますが、技法を真に理解していなければそれらを使ってはいけないということがどうもわかってないようだ。
もしその技法が正しくなかったとしたら?この疑問に答えるためにも、過程を正しく記載しなければならない。
s-wordさんには単なる受検テクニックの話をしているのではないので、下記ページはあくまで「参考」にしてくれたらいいと思います。その後に私のところを読んでいただければいいと思います。

ちなみにs-wordさんが書いた以下のところなんですが、
「問題文の直線 y=2tx - (t+1)^2 とこれに実数条件を使った y=x^ - 2x という式を連立すると、x=t+1 で接するということがわかると」

これは平方完成を使った解法の質問ですね。大学への数学 数学ショートプログラムという本に載っています。この解法はこねくり回している様であまり好きにはなれません。ちゃんと理解すると簡単なのかもしれませんが、最初に習ったのが「微分」による解法なんでこのやり方を飛ばしました。だから出来ません。下記ページを見てください。
またstomachmanさんが微分による解法ではできない問題を出していますが、私が知る限り受検でこのような問題が出ることはなかったと思います。もしこのような問題が出て、いろいろ解法を試してみて出来なかったらあきらめましょう。

以上
お礼コメント
s-word

お礼率 86% (456/526)

お返事ありがとうございました。早速いってみました。いろいろな解法があるんですね。今まできっちり系統だって学習していなかったものが体系的になっていたのでつながってきました。どうもありがとうございます。他にも勉強になる問題が、たくさんあるので、ひととおり見てみようと思います。

「y=2ax+1-a^2・・・ (1)を aについて整理すると、a^2-2xa+y-1=0   
両辺をaについて微分すると、2a-2x=0     ∴  a=x
これを直線の方程式に代入して、y=2x^2+1-x^2=x^2+1  (2)     
ここで(1)(2)より、yを消去すると、2ax+1-a^2=x^2+1
x^2-2ax+a^2=0,(x-a)^2=0,
∴x=a(重解)
よって、(1)(2)は、x=aで接することがわかる。
また、0≦a≦1より、0≦x≦1の範囲で接している。
よって、求める領域は、図の影の部分(境界を含む)」

長くなりましたが、少し気になったことがあるので質問させてください。微分前の式と微分後の式ではその関係性が保たれているので、微分して出てきたa=xを(1)に代入できると思うのですが、なぜ微分してもその関係性が保たれているのかがピンときません。全く違う式なので理解できないのですが。それと、「0≦a≦1より、0≦x≦1の範囲で接している。」の部分なのですが、これはx=aから導かれてきたと考えて良いのでしょうか。すいませんよろしくお願いします。これからもう一度書き込んでいただいた内容を振り返ってみたいと思います。どうもありがとうございました。
投稿日時 - 2001-10-01 07:43:21
  • 回答No.14
レベル14

ベストアンサー率 57% (1014/1775)

x,yはtと無関係? x,y,tをそれぞれ好きな値にして   y=2tx-(t+1)^2 が成り立つ訳じゃないでしょう? あるいは、x, yがtと関係ないのなら、どうしてx=t+1なんて関係が出てくるんでしょう? おかしなことが起こるのは、x,yの意味を式によってころころ変えてしまっているからです。 No.2では<x,y>は初めのうちは直線上の任意の点を表していたのが、いつのまに ...続きを読む
x,yはtと無関係?
x,y,tをそれぞれ好きな値にして
  y=2tx-(t+1)^2
が成り立つ訳じゃないでしょう?
あるいは、x, yがtと関係ないのなら、どうしてx=t+1なんて関係が出てくるんでしょう?

おかしなことが起こるのは、x,yの意味を式によってころころ変えてしまっているからです。 No.2では<x,y>は初めのうちは直線上の任意の点を表していたのが、いつのまにやら包絡線上の点を表すものに化けている。これらをきちんと区別してみましょう。

二本の直線
  y=2tx-(t+1)^2
  y=2(t+δ)x-(t+δ+1)^2
の交点を<x[δ],y[δ]>とする。
より正確には、
L[t] = {<x,y> | y=2tx-(t+1)^2}
とするとき、
{<x[δ],y[δ]>} = L[t] ∩ L[t+δ]
です。
つまり連立方程式
  y[δ]=2tx[δ]-(t+1)^2
  y[δ]=2(t+δ)x[δ]-(t+δ+1)^2
の解が<x[δ],y[δ]>である。
そしてδ→0としたときの交点、すなわち<x[0],y[0]>は包絡線上にある(なぜ包絡線上に来るかは、ここでは\(^^\) (/^^)/置いといて)。

 具体的に解いてみましょう。y[δ]を消去して
2tx[δ]-(t+1)^2 =2(t+δ)x[δ]-(t+δ+1)^2
移項して
0 = 2δx[δ]-2δ(t+1)-δ^2
よって
x[δ] = (t+1)+δ/2
y[δ] =2t((t+1)+δ/2)-(t+1)^2 = t^2+δt-1
です。そして
<x[0],y[0]>=lim {δ→0} <x[δ],y[δ]>
ですから、
x[0] = t+1
y[0] = t^2-1

ちょっとやり方を変えてこの計算をしてみましょう。
  y[δ]=2tx[δ]-(t+1)^2
  y[δ]=2(t+δ)x[δ]-(t+δ+1)^2
差を取ると
  0 = 2δx[δ]-((t+δ+1)^2 - (t+1)^2)
両辺をδで割ると
  0 = 2x[δ]-((t+δ+1)^2 - (t+1)^2)/δ
δ→0の極限を取ると
  0 = 2x[0] - lim{δ→0}((t+δ+1)^2 - (t+1)^2)/δ
このlimの中身は d((t+1)^2)/dt に他なりませんから
  0 = 2x[0] - d((t+1)^2)/dt
この微分を計算すると
  0 = 2x[0] - 2(t+1)
かくて
x[0] = t+1
を得ます。

これがNo.2の方法で旨く行っちゃうからくりです。
お礼コメント
s-word

お礼率 86% (456/526)

>おかしなことが起こるのは、x,yの意味を式によってころころ変えてしまっているからです。 No.2では<x,y>は初めのうちは直線上の任意の点を表していたのが、いつのまにやら包絡線上の点を表すものに化けている。これらをきちんと区別してみましょう。

なるほど、区別するとこうなるのですね。お返事どうもありがとうございます。なるほど、そういうことだったのですか、わかりました。どうもありがとうございました。
投稿日時 - 2001-10-08 02:36:50
  • 回答No.15
レベル9

ベストアンサー率 29% (14/47)

>x,yはtと無関係?x,y,tをそれぞれ好きな値にして   y=2tx-(t+1)^2 が成り立つ訳じゃないでしょう?あるいは、x, yがtと関係ないのなら、どうしてx=t+1なんて関係が出てくるんでしょう? おかしなことが起こるのは、x,yの意味を式によってころころ変えてしまっているからです。 No.2では<x,y>は初めのうちは直線上の任意の点を表していたのが、いつのまにやら包 ...続きを読む
>x,yはtと無関係?x,y,tをそれぞれ好きな値にして
  y=2tx-(t+1)^2
が成り立つ訳じゃないでしょう?あるいは、x, yがtと関係ないのなら、どうしてx=t+1なんて関係が出てくるんでしょう?
おかしなことが起こるのは、x,yの意味を式によってころころ変えてしまっているからです。 No.2では<x,y>は初めのうちは直線上の任意の点を表していたのが、いつのまにやら包絡線上の点を表すものに化けている。これらをきちんと区別してみましょう。

「x,yはtと無関係」なのではなく、「x,yとはtと無関係」である。
言い換えると変数と任意定数とは無関係である。

さらに言い換えると、
P:(x,y)=(t+1,t^2-1)…(代入してあっという間に接点yもまとまる)
なので接点P:(x,y)はtを媒介変数として表わされる。
しかしtは(x,y)で表わせられない。
{t=x-1,t=±√(y+1)というように別々には表わせられるがt=f(x,y)とは表わせられない。}

故に接点(x,y)とtは無関係である。

そもそもNO4で下記のように書いてあります。
変数…1方が1つ決まると他方も1つ決まる、つまり「伴って変わる」
2つ1組の数。
y=f(x)で言うとyが従属変数、xが独立変数という。

定数…変数以外の数
「伴わないで変わる」…任意定数(パラメータ、y=axのaなど)
「伴わないで変わらない」…与えられた定数(y=2x)

任意定数∋媒介変数であって、任意定数の意味は媒介変数だけではない。
ここを間違ってはいけない。

では説明しよう。
「任意定数∋媒介変数」かつ「変数≠任意定数」
⇒変数≠媒介変数

以上と言いたいところだがさらに問題文に戻って説明しよう。
実数tが変化するとき、直線y=2tx - (t+1)^2 がとおりえる範囲を図示せよ

実数tを決めれば直線が決まる。
逆に(x,y)の変数の組みを決めればそれらに対応する実数tが存在する。
xだけ決めただけではだめだ。stomachmanさんが「x,y,tをそれぞれ好きな値にして 」というのはここでだめというのがここでわかる。

つまりどういうことかというと私の表記ミスで~す。やっちまったッピー。
NO2の「つまり、x,yはtとは無関係だから、」を以下のように直してください。
「つまり、x,yの変数の組みはtとは無関係だから、」

これで完璧ズラ。
お礼コメント
s-word

お礼率 86% (456/526)

>「x,yはtと無関係」なのではなく、「x,yとはtと無関係」である。
言い換えると変数と任意定数とは無関係である。

ご回答してくださって、どうもありがとうございます。はい、私もnewtypeさんにそのように教えていただいて理解しました。
投稿日時 - 2001-10-08 02:44:19
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