微分方程式が解けるか解けないかを判定する定理

質問

あるひとつの微分方程式や積分方程式を見て、この方程式は原理的に(技術的にではなく)解けるか解けないかを判定する定理はあるのですか。代数方程式にはそのような定理があると聞いていますので・・・

回答No.1

grothendieck · ベストアンサー

解けるかどうかを判定する定理というのはガロア理論のことを言われているのでしょう。微分方程式は代数方程式より複雑なのでまだ研究途上です。

参考URL：

http://www.math.niu.edu/~rusin/known-math/index/12HXX.html

お礼

そういうものなのですね。ご教示のサイトを開いてみましたが英語なのでおそれをなして逃げ帰りました。早速のご回答をありがとうございました。

回答No.2

adinat

シンボリックな言い方をすると「ガロアの夢」ということなのだと思います。このタイトルのついた読み物に近い教科書もありますので、興味あればごらんになってはどうでしょうか。googleなどで検索されても面白いページにヒットすると思います。

線形の微分方程式に限っても二階ですら解けない問題がたぶんあるはず（違ったらごめんなさい）なので、相当むずかしい問題なのだろうなぁ、と想像します。これら2階の線形方程式からでもいろいろ有名な特殊関数がたくさん生まれるぐらいですから、奥が深いんだろうなぁ、と。だって代数方程式の時って√と虚数が誕生したぐらいですものね。

代数方程式の場合は、方程式のガロア群が可解群になるときに元の方程式は代数的に解ける、というガロアの主定理がありましたが、それを微分方程式とその方程式に対応する連続群でもって可解性を調べようというのがごく大雑把な意味でのガロアの夢です。可積分系がらみの話につながっていくので、今でも結構熱い研究分野なのだと思います。たぶん。僕も興味あります。だけど手が回らないです。。

お礼

数学が生き物のように思えました。ご教示ご回答有難うございました。