有限群を求める問題

質問

代数学で出された問題の一部なんですが、はっきり言ってさっぱり分かりません。

｛φ｜φ：R→R｝の部分集合Fを適当に選んで、f、g∈Fに対し、f・g(x)＝f(g(x))と・を定義する。
ここに、Rは実数の集合を表す。

(1)<F,・>が位数2の有限群になるFを求めよ。
(2)<F,・>が位数4の有限群になるFを求めよ。

まず、問題にはいる前の説明のところから分かりません。

>f、g∈F

ということなので、f、gは1とか2などの具体的な要素かと思ったんですが、

>f・g(x)＝f(g(x))と・を定義する

とあるので、fとgは要素ではなく関数ということなんでしょうか？

でもそれだとf、g∈Fの意味がイマイチ分からないし…。

どなたか分かる方教えてください。
よろしくお願いします。

回答No.3

kentarou2333 · ベストアンサー

まず、
f:R→R
とか
g:R^2 → R
というのは分かりますでしょうか？

ここでは、f は、１変数関数で、g は２変数関数ですよね。

そのため、{f|f:R→R}とかけば、これは１変数関数の集合ですよね。

ここで、問題文の表記に戻ると、
　F というのは、１変数関数の集合
　f ∈ F というのは、f は１変数関数の集合の元（つまり１変数関数）
ということです。

というわけで、問題文を読み砕くと、

１変数関数 f, g に対して、(f・g) という結合を f・g(x) = f(g(x)) とする。
このとき、１変数関数の部分集合で、位数が２（又は４）になるものを求めよ。

という形だと思います。

まず、位数が２のものの例は簡単ですよね。
#2 さんも書かれているように、
　　f(x) = x
　　g(x) = -x
というように定義して、
　　F = { f, g }
と考えれば、f と g は位数２の１変数関数の部分集合になります。

例を求めよと書いていないので、一般に求めるのであれば、
　　f(x) = x
　　g(x) =　┌ x ( x ∈ A )
　　　　　　└ -x ( x ∈ ￢ A )
　　ただし、A ⊂ R

となります。
位数４のものはちょっと難しいかも。
ちなみに、#2 さんのは間違っていて、F の要素は、群をなすためには、
どれも全単射である必要があります。
これは、群であれば逆像（逆関数）が存在する必要があるからです。

位数２の一般解にヒントが隠されていますので、考えてみてください。

長文になってしまい失礼しました。

お礼

こんな長文の回答本当にありがとうございます。
問題も分かりやすいように噛み砕いて書き直してくださっていて、至れり尽せりですね。

ただ、ちょっと分からないんですが、

＞g(x) =　┌ x ( x ∈ A )
＞　　　　└ -x ( x ∈ ￢ A )

の『￢ A 』とはなんなのでしょうか？
『-A』とは違うのでしょうか？

回答No.7

kentarou2333

No4 に書いた、解答に一部誤りがありました。

Ａ≠Ｂと下から５行目ぐらいに書いてありますが、これは正しくは
　Ａ∪{0}　≠　Ｂ∪{0}
の誤りでした。

お礼

何度も回答＆回答修正してくださってありがとうございました。
おかげさまで問題の意味すら理解していなかった私も、何とか解くことができました。

回答No.6

kentarou2333

＞1.　F={I,-I} ⇒ F:位数2になる

これでも、x = 0 のとき、 I と -I は同じになりますよね。

すでに、質問者自身も回答に達しているようですが、写像（関数）としては異なるものですので、特定の要素に対して他の写像（関数）と同じでも特に意味を持ちません。

お礼

何度も追加で回答してくださってありがとうございます。

回答No.5

kentarou2333

x ∈ ￢ Ａ
というのは、ｘは、Ａの補集合の要素という事です。

つまり、Ａに含まれない x ってことですね。
＝に対する≠のように、∈の否定記号があればよかったんですが、そういう文字はないようだったので、このような分かりにくい表記になってしまっていました。

ちなみに、このＡというのは、No4 にも書きましたが左右対称（０をはさんで左右同じ数を含む）な集合なので、Ａ＝－Ａではあります。

お礼

分かりました。
ありがとうございました。

回答No.4

kentarou2333

No.3 です。書き込んだ一般解に Ａ の条件が書き漏れていましたので、
補足させていただきます。

　f(x)　 = x
　g_A(x) =　┌ -x ( x ∈ Ａ )
　　　　　　└ x ( x ∈ ￢ Ａ )
　ただし、Ａ ⊂ Ｒ, Ａ≠Φ, Ａ≠{0}
　また、任意の x ∈ Ａ に対して、-x ∈ Ａ となるもの。

このように定義した {f,g_A} = F が位数２の有限群になります。

お詫びついでに、位数４の有限群を書くと、以下のようになります。

　f(x)　　 = x
　g_A(x) =　┌ -x ( x ∈ Ａ )
　　　　　　└ x ( x ∈ ￢ Ａ )
　g_B(x) =　┌ -x ( x ∈ Ｂ )
　　　　　　└ x ( x ∈ ￢ Ｂ )
　g_AB(x)=　g_A( g_B (x))

　ただし、Ａ,Ｂ ⊂ Ｒ, Ａ,Ｂ≠Φ, Ａ,Ｂ≠{0}, Ａ≠Ｂ
　また、任意の x ∈ Ａ に対して、-x ∈ Ａ
　　　　任意の x ∈ Ｂ に対して、-x ∈ Ｂ
　となるもの。

このように定義したとき、{f, g_A, g_B, g_AB} は位数４の有限群になります。

お礼

No.3の回答のお礼のところで、

＞『￢ A 』とはなんなのでしょうか？
＞『-A』とは違うのでしょうか？

と書いたのですが、No.4の回答も読んで考えてみると、
『￢ A 』とは『Aのバー』という事なんでしょうか？
それだと納得いくような・・・

ただ、新たに疑問ができてしまいました。

＞　f(x)　 = x
＞　g_A(x) =　┌ -x ( x ∈ Ａ )
＞　　　　　　└ x ( x ∈ ￢ Ａ )

とありますが、これだと　x ∈ ￢ Ａ のとき、f(x)とg_A(x)が同じものですよね。
これっていいんですか？

No.2の回答の

＞1.　F={I,-I} ⇒ F:位数2になる

だったら、Iと-Iは同じになることがないので、明らかに違うものですよね？

ん？　というか、要素が関数なのだから、これでいいのか・・・

とんでもなく的外れな疑問だったらすいません。

回答No.2

yumisamisiidesu

I:恒等写像とします
1.　F={I,-I} ⇒ F:位数2になる
2.　F={I,-I,I(+)∪(-I(-)),-I(+)∪(I(-))} ⇒ F:位数4になる
ここで-Iはマイナス1倍する写像
I(+)∪(-I(-))(x)={x>=0⇒x,x<0⇒-x}なる写像
-I(+)∪(I(-))(x)={x>=0⇒-x,x<0⇒x}なる写像

と思いますが、群になる(・について閉じてる、結合則、単位元の存在、逆元の存在を示す)ことについて確かめてみて下さい

お礼

集合Fの要素は『具体的な数字』と思い込んでいました。
文字というか、変数というか、そう言うものを使えばいいんですね。
ありがとうございました。

お礼が遅れてすいませんでした。

回答No.1

sunasearch

まず、｛φ｜φ：R→R｝を理解されてますでしょうか？

{}は集合を表す記号です。

R→Rは「実数の集合を実数の集合に写す」ことを意味します。

つまり、ある実数があったときにそれを別の実数に写すφというものの集合を定義したことになります。

たとえば、f(x)=x+3というのも、ある実数を３足した実数に変換するものです。

したがって、｛φ｜φ：R→R｝は、
そういう関数（写像、変換）の集合を表しています。

「要素」と言うのは集合に属する１つのものを表します。

ですから、ここでは実数を実数に写す「関数の集合」を定義して、その部分集合Fの要素として、関数fと関数gを取り出した時の話をしています。

あとは、位数や有限群の定義から問題を解いてみて下さい。

お礼

「回答があったらメールで知らせる」のチェックをし忘れていたみたいで、回答があったことに全然気が付きませんでした。
お礼が遅れてすいません。

やっぱり、f,gは関数だったですね。
丁寧な説明ありがとうございました。