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以下の問題が分からないので、教えてください。
文字の右側の半角の数字は、〇乗として考えてください。
1.X2+y2=1のとき、y-3分のX+1の最小値。
2.X、yが実数でX2+y2=1のとき、2X+yの最大値。
3.40人の生徒から5人選ぶとき特定の2人が必ず入っているような組み合わせは、全部で何とうりあるか。
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  • 回答No.2
レベル9

ベストアンサー率 29% (14/47)

せっかくですからtaropooさんの回答を分析しましょう。

1.のtaropooさんに回答は「逆の対応」という考えを用いた解法です。

(1)通常の解法(x、yを直接動かす)
「x^2 + y^2 = 1」を満たす、すべてのx、yを「y - x/3 + 1 = k」に代入し、 mink,maxkを求めればよいので、x,yをすべて動かしてやればよい。
「x^2 + y^2 = 1」を満たすx、yはx=cosθ、y=sinθと置ける。(重要!)

よって、k=sinθ-cosθ/3+1となる。(1変数になおせた!)
⇔k=(√10/3)sin(θ+α)+1,(cosα=3/√10,sinα=-1/√10)
0≦θ≦360°のとき、-1≦sin(θ+α)≦1なので、
maxk=1+(√10/3),mink=1-(√10/3)
最小値をとるx、yは、θ+α=270°より、
x=cos(270°-α)=-sinα=1/√10,y=sin(270°-α)=-cosα=-3/√10
よって、最小値1-(√10/3)、(x=1/√10、y-3/√10)

(2)逆の対応の解法(x、yの存在条件からzの値のとりうる範囲を求める。「逆手流」と書いてある参考書もある)
z=y - x/3 + 1 を満たすzが実数kを値にとる。
⇔x^2 + y^2 = 1…(1),y - x/3 + 1 =k…(2)の2つの式を満たす実数x、yが存在する。…(☆)
⇔(2)式を(1)式に代入した「x^2 +(k+x/3 -1)^2-1=0」を満たす実数xが存在する。(⇒はyの消去,逆はxに対しyをy=k-xで定めれば☆が成立する)
⇔「10x^2+(6k-6)x+9k^2-18k=0」を満たす実数xが存在する。
⇔「10x^2+(6k-6)x+9k^2-18k=0」が実数解をもつ。
⇔判別式D/4=(3k-3)^2-10(9k^2-18k)≧0
⇔9k^2-18k-1≦0
⇔1-√10/3≦k≦1+√10/3
よってzのとりうる値の範囲は1-√10/3≦z≦1+√10/3。
∴zの最小値は1-√10/3。

問2も同じように解ける。
以上。
よってzの最小値は1-(√10/3),「このときのx、yは(1)(2)式の交点」
お礼コメント
noname#3262

大変わかりやすい解説ありがとうございました。
とても参考になりました。
投稿日時 - 2001-09-06 17:08:58
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その他の回答 (全1件)

  • 回答No.1
レベル10

ベストアンサー率 33% (34/103)

1.y - x/3 + 1 = k とおいてこの式をx、またはy(好きな方)についてといて  x^2 + y^2 = 1 に代入するとx、またはyの2次式が出来ます。  この2次式が実数でなければならないので判別式Dが正。  この不等式を満たす k の最小値を求めれば良いでしょう。 2.上の問題と方針は全く一緒です。 3.40にんから5にん選ぶ時必ず特定の2人が入ってると言う事は、   ...続きを読む
1.y - x/3 + 1 = k とおいてこの式をx、またはy(好きな方)についてといて
 x^2 + y^2 = 1 に代入するとx、またはyの2次式が出来ます。
 この2次式が実数でなければならないので判別式Dが正。
 この不等式を満たす k の最小値を求めれば良いでしょう。

2.上の問題と方針は全く一緒です。

3.40にんから5にん選ぶ時必ず特定の2人が入ってると言う事は、
 やる事は38人の中から残りの3人を選ぶ作業になります。
 (アドバイスではなくほとんど答えを言ってますね。)

頑張ってください。
お礼コメント
noname#3262

大変わかりやすい解説ありがとうございました。
とても参考になりました。
投稿日時 - 2001-09-06 17:07:53

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