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メネラウスの定理を使う図形の問題?
宜しくお願い致します。 [問]半直線BX、半直線BY(X、Yの方に線は伸びている)があります。 BX上に点Aがあり、BY上に点Cがあります。 ∠ABCの2等分線と線分ACとの交点をQ、 ∠ACBの2等分線と線分ABとの交点をR、 ∠CAX(△ABCの外角)の2等分線と線分CYとの交点をPとすると (1) P、Q、Rは同一直線上にある事を示せ。 (2) PQ/PR=(BC+CA)/(BC+AB)となる事を示せ。 という問題なのですが(1)は BP/CP・CQ/AQ・AR/BR=1より、メネラウスの定理の逆から示される事は分かったのですが (2)はどうするのか分かりません。 どうすれば示せるのでしょうか?
- YYoshikawa
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#1です。#1の最初に書いたような理由から BR:RA=BC:CA となります。したがって、 BR:(BR+RA)=BC:BC+CA BR/(BR+RA)=BC/(BC+CA) となることが分かります。 同様に、AB:CA=BP:PCからBP/(BP-PC)=AB/(AB-AC) したがって、 (BP/(BP-PC))*BC:(BR/(BR+RA))*AB =(AB/(AB-CA))*BC:(BR/(BR+RA))*AB =(AB/(AB-CA))*BC:(BC/(BC+CA))*AB となります。
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- eatern27
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三角形ABCにおいて、∠BACの二等分線(※)と直線BCの交点をPとしたとき、 BA:AC=BP:PC が成り立ちます。 なお、これは、※が、外角の二等分線であっても成り立ちます。 (1番が分かっているということなので、ご存知とは思いましたが、2番はこれしか使わないので、何となく書きました) 図書けず、文章でごたごた書いてもかえって分かりにくいので、略解のみ。分からない点があれば補足を。 PQ:QR =BP:BR =(BP/(BP-PC))*BC:(BR/(BR+RA))*AB =(AB/(AB-CA))*BC:(BC/(BC+CA))*AB =BC+CA:AB-CA PQ:PR =PQ:PQ+QR =BC+CA:BC+AB PQ/PR=(BC+CA)/(BC+AB)
補足
ご回答大変ありかどうございます。 > =(BP/(BP-PC))*BC:(BR/(BR+RA))*AB > =(AB/(AB-CA))*BC:(BC/(BC+CA))*AB これは多分、 BR:AB-AC=BP:AC+BC (つまり、BR/(AB-AC)=BP/(AC+BC)) からいえるのでょうけど これは何故いえるんですかね?
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