BCSのギャップ方程式からTCを出す際の積分

質問

すみませんが、タイトルの通り、超伝導のBCS理論で、
ギャップ方程式(ギャップは「丸」でOK)から、TCを
出す際に、∫tanh(x)/x)dx (x=0～α)の積分が出てきますが、
この結果ln(Aα)、但し、A=2exp(γ)/π、但し、γ=Eulerの定数、
を導出する具体的な計算方法が書いてある本をどなたか
教えていただけませんでしょうか。
(Tinkhan, Parks, Schrieffer等探しましたが、どれも「この
積分は計算できて、結果は、ln(Aα)である」としか書いて
ありませんでした、、、。級数か、複素積分で行けそうな
感じなのですが、、、、、。
すみません。よろしくお願いいたします。

回答No.4

siegmund · ベストアンサー

siegmund です．

もう物理の問題というより，定積分を求める数学の問題ですね．

blue_monkey さんの回答拝見しました．
なるほどね～．
(1)　　ln x = lim_{s→1} x^{s-1}
を使ってうまくやるんですか．
ln x はタチが悪いから，べきの方にしておくということですね．

そういえば，統計力学で ln Z (Z は分配関数)を議論するのに，
レプリカをｎ個用意しておいて
(2)　　ln Z = lim_{n→0} (Z^n - 1)/n
とするのもありました(スピングラスで有名なテクニック)．
この式にロピタルの定理を適用すれば，一番上の式の形になります．

さて，
(3)　　∫τ^(s-1)*(1/(cosh(τ)^2) dτ=2^(2-s)*(1-2^(2-s))*Γ(s)*ζ(s-1)
まで行ったのでしたら，あと一息です．
s-1 = t とおいて
(4)　　2^(2-s) = 2*2^{-t}
(5)　　1-2^(2-s) = 1 - 2*2^{-t}
(6)　　Γ(s) = Γ(t+1)
(7)　　ζ(s-1) = ζ(t)
で，t の１次まで拾えばよい．
(4')　　2*2^{-t} = 2*{1 - (ln 2)t} + O(t^2)
(5')　　1 - 2*2^{-t} = -1 + (2 ln 2)t + O(t^2)
(6')　　Γ(t+1) = Γ(1) + Γ'(1)t + O(t^2)
　　　　　　　　= 1 - γt + O(t^2)
(7')　　ζ(t) = ζ(0) + ζ'(0)t +O(t^2)
　　　　　　　= -1/2 - {(ln 2π)/2} + O(t^2)
(6')では，Γ'(1) = Γ(1)ψ(1) と ψ(1) = -γ を使っています．
ψは di-gamma 関数．
(7')では，ζ(0) と ζ'(0) を岩波公式集のIIIから拾って来ました．

あとは，ていねいに t の１次の項を拾う単純計算で，
最終的に
(8)　　lim_{s→1} {(3)式} = ln(π/4γ')，γ' = e^γ
が得られます．

こりゃ，なかなか大変だわ．

本当のことを言うとζ(0)やζ'(0)も公式集に書いてある値を拾ってきただけですから，
∫_0^∞ ln x cosh^{-2} x dx が知られている，
というのと大して変わらないような気もします．
まあ，公式集の公式を全部確認しながら使うというのも，とてもできない相談ですが...