BCSのギャップ方程式からTCを出す際の積分

質問

すみませんが、タイトルの通り、超伝導のBCS理論で、
ギャップ方程式(ギャップは「丸」でOK)から、TCを
出す際に、∫tanh(x)/x)dx (x=0～α)の積分が出てきますが、
この結果ln(Aα)、但し、A=2exp(γ)/π、但し、γ=Eulerの定数、
を導出する具体的な計算方法が書いてある本をどなたか
教えていただけませんでしょうか。
(Tinkhan, Parks, Schrieffer等探しましたが、どれも「この
積分は計算できて、結果は、ln(Aα)である」としか書いて
ありませんでした、、、。級数か、複素積分で行けそうな
感じなのですが、、、、、。
すみません。よろしくお願いいたします。

回答No.2

siegmund

siegmund です．
数日留守にしていました．

う～ん，超伝導の理論の組み立てからすると，枝葉末節のことに思えるんですがね．
大事なことは ln α 依存性で，Ａは定積分で表される定数であることが
わかっていればよいわけです．
必要なら数値積分すればよい．
γなどで表せたとしても，転移温度の式の数係数は普通 1.14 と書いていますし，
gap と Tc の比のところも 3.52 などと書いていますよね．

さて，
(1)　　Σ_{n=0}^∞ [(2n+1)^2 π^2 + y^2]^(-1) = (1/4y) tanh (y/2)
を使うことにします．
x=y/2 で，前の数係数は適当に調整してください．
積分と和の順序を変えて，y 積分(y=0～a)を先にやります(a=α/2)．
積分が arctan になるのは well-known で
(2)　　[1/(2n+1)π] arctan[a/(2n+1)π]
ですが，これでは n 和が取れません．
a→∞ とすると arctan のところは π/2 になり，n 和は発散してしまいます．
もともと spinflip さんが書いた x 積分の式で，
上限を無限大にすると発散するのと同じです．
でも，a→∞ とすると対数発散ですね．
arctan[a/(2n+1)π] がπ/2 から大きくずれるのは a ～ (2n+1)π のあたりですから
ここらへんで n 和を切ってしまいましょう．
そうすると係数は別にして，1/(2n+1) のタイプの和で，
上限がかなり大きいわけです．
このタイプの和は，digamma 関数と Euler 定数γで書けますから
(岩波公式集のIIIに出ています)，
digamma 関数の漸近展開と組み合わせて，求める結果が出ます．
本当は近似の order estimation をやらないといけませんが，さぼりました．

細かい検討はおまかせします．

なお，(1)の形になるのは偶然ではありません．
温度グリーン関数形式で，(k,ωn) の電子と (-k,-ωn) の電子のペアの
温度グリーン関数がまさに 1/(ε^2 + ωn^2)になっています．
ωn=(2n+1)πT (電子の松原振動数)，ε=(k^2/2m)-ε(F)，
ε(F) はフェルミエネルギーです．
この形式でグリーン関数の分母を見ると，εの上限を設定するのも，
ωnの上限を設定するのもほとんど同じだということがわかります．
εの上限(はじめの式に戻れば x の上限)を n の上限にすり替えたのが
上の議論です．

(ln x) / cosh^2 x の積分を直接計算するのはどうも思い出せません．
どっかで見たことがあるんですが...