４次方程式 ｘ＾4+ｘ＾3+ｘ＾2+ｘ+1＝0 の解

質問

ｘ＾4+ｘ＾3+ｘ＾2+ｘ+1＝0の解法を教えてください（できれば、省略なしで）。

回答No.2

adinat · ベストアンサー

要するに1の5乗根を求める問題なのですが、このような相反方程式には典型的な解法があります。覚えておかれると有益でしょう。x=0は解でないことは明らかです。したがって方程式の両辺をx^2で割ってみて、
(※) x^2+x+1+1/x+1/x^2=0
となります。そこでy=x+1/xとおきます。ここがポイントです。そうするとy^2=x^2+1/x^2+2となるので、上の(※)式は
y^2+y-1=0
に書き直すことができます。これはただの二次方程式なので、これを解くと二つの実数解、α、βが出てきます。（これぐらいはご自身で計算してください）
そうするとy=x+1/xとおいたわけですから、y=αあるいはβというとことは、
x+1/x=αあるいはβ
ということです。両辺にxをかけてやると二つの二次方程式
x^2-αx+1=0とx^2-βx+1=0
が得られます。結局もとの方程式は上の二つの二次方程式の解を集めた4つの解（すべて虚数解）になるということが分かります。これもただの二次方程式なので簡単に解くことができるはずです。

．．．と思いましたが、chiropy様が回答くださったようですね。

ちなみに、実数解が存在しないことだけを言うなら次のようにすることもできます。x=1が解にならないことは明らかなので、x-1≠0ですから、両辺にx-1をかけてやります。そうすると
(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)=0
となって、展開すればx^5-1=0、つまりx^5=1という5次方程式を得ることになります。当然x=1が解になるわけですが、これ以外に実数解はありえません。5乗して1になる実数は1だけです！というわけで、もとの方程式は5乗して1になる数のうち、実数でないものを求めなさい、ということとおんなじ問題なのでした。

回答No.1

chiropy

X=0ではないので両辺をX＾２で割る。（X^2=0でないから割ってもOK）
X^4+X^3＋X^2＋X＋１＝０
X^2＋X＋１＋１/X＋１/X^2＝０
（X^2＋１/X^2）＋（X＋１/X）＋１＝０
　　　　　　　　　　　　　　　 ↓
（X＋１/X）＝ｔとすると　　　　↓
ｔ^2＝（X^2＋１/X^2）＋２　　 ↓
　　　　　　　　　　　　　　　 ↓
（ｔ^2-2）＋ｔ＋１＝０
t^2＋ｔ－１＝０
解の公式よりｔ＝(－１±√５)/2

t=(-１＋√５)/2の時
X＋１/X＝(-１＋√５)/2
両辺に２Xをかけて
２X^2＋２＝(-１＋√５)X
２X^2＋（１－√５）X＋２＝０
解の公式より
X＝[ー（１－√５）±√｛（１－√5）^2ー１６｝]/４
[√｛（１－√5）^2ー１６｝]＜０より（実数）解なし

ｔ＝（－１－√５）/２の時
X＋１/X＝－１－√５）/２
両辺に２Xを掛けて
２X^2＋２＝（－１－√５）X
２X^2＋（１＋√５）X＋２＝０
解の公式より
X＝[-(1+√5)±√{(１＋√５)^2ー１６}]/4
√{(１＋√５)^2ー１６}＜０より（実数）解なし

∴X^4+X^3＋X^2＋X＋１＝０は（実数）解なし

自信ないし、間違ってるかも…