曲線の長さ

質問

平面上の曲線の任意の区間の長さを求める場合、
区間を細分化し直線や二次曲線で近似して総和を求める方法以外に 何か他の方法はありませんでしょうか。

回答No.5

stomachman

桁落ち？それはまともに端から累計していく場合に起こり得ますね。
A+B (|A|>|B|)という足し算において桁揃えをする際に、もし|B|がAの丸め誤差以下であると、答はA+B=Aになってしまって、Bが無視される。この現象のことですね。

　それを避けるには、部分和を作りながら足していくのが有効です。
どの部分和もだいたい同じ位の大きさの値になるようにするのが理想的ですが、簡単にやるなら、区間の数Kを2の冪乗にしておき（つまりK=2^M)
S=Σ{k=1,...,2^P} a[k]
を求めるのに
a[1,n]=a[2n-1]+a[2n] (n=1,2,...,2^(M-1))
a[m,n]=a[m-1,2n-1]+a[m-1,2n] (n=1,2,...,2^(M-m))
とすればm=Mになると
a[M,n] = a[M-1,2n-1]+a[M-1,2n] (n=1)
となって、
S=a[M,1]
ですね。こういう風にやると、足し算する二つの数の絶対値は大体同じ位の大きさになるので、桁落ちが生じにくくなります。

　丸め誤差を避けるためには、もう一つ重要なポイントがあります。
必ず計算精度（有効桁数）を変えて２度計算して、両者の答が（予想される誤差の範囲内で）合うことを確認して下さい。
　もし答が合えば、有効桁数の少ない方の計算で既に丸め誤差が問題になっていないことが分かります。
　しかしもし合わない場合には、有効桁数の少ない方が誤っていることは勿論、有効桁数の多い方だってまだ桁数が足りない可能性がある訳です。

お礼

解決しました。

失礼な文章があったにもかかわらず再度回答いただき本当にありがとうございました。