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円の内部の最小線分

　ある円の内部に任意の点Ｐを取り、点Ｐを通る直線が円を切り取る線分をＡＢとする。 　この時、線分ＡＢが最小となるのはどんな時か？ 　理由を述べよ。 　この問題。Ｐが線分ＡＢの垂直二等分線になる時（その時中心Ｏを通る）ということは 　直観で分かるのですが、エレガントな証明が思いつきません。 　どなたかご教示いただければ幸いに存じます。 　よろしくお願いします。

質問者が選んだベストアンサー

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  • leige
  • ベストアンサー率45% (11/24)
回答No.3

訂正です。PとOが入れ替わってました。 OPと垂直なPを通る線分CDを考えると △PAC∽△PDB よって PC:PB=PA:PD これより PB=(PC)＾2/PA 相加平均と相乗平均の関係より PA+PB=PA+(PC)＾2/PA≧2√(PA+(PC)＾2/PA)=2PC よってPA=PB=PCのとき最小になるとおもいます。

arakan
質問者

お礼

うーん。なるほど相加、相乗平均にもちこむ・・・ 　あざやかですね。 　ありがとうございました。

その他の回答 (5)

  • tenro
  • ベストアンサー率39% (118/300)
回答No.6

円周をC1、C1の半径をrとする。 C,DをC1上の点として、OP⊥CDとなるようにする。 このとき、CDはOを中心として半径OPの円C2に接している。 C,D以外のC1上の点Aを任意に選び、AとPを結んだ直線とC1の交点でAとは異なる点をBとする。 仮定からOPとABは垂直ではないので、ABはC2と点P及びPとは異なる点Qの２点で交わる。 ここで、OからABにおろした垂線はPQの垂直二等分線である。 故に、△OABの高さをhとすれば、h<OPである。 AB=2×root(r^2-h^2)、CD=2×root(r^2-OP^2)であるので、CD<AB

arakan
質問者

お礼

なるほど、円内に円を考えて・・・・ですか 　シャープな回答ありがとうございました

  • leige
  • ベストアンサー率45% (11/24)
回答No.5

C,Dを円周上の点として、OP⊥CDとなるようにする。 このとき△OPDは直角三角形で直径をODとする円に内接している。 D以外の円周上の点Aについて△OPAはこの円から出る。 よって∠ODP＞∠OAP △OCD、△OBAが半径を等しい２辺とする２等辺三角形だから ∠COD＜∠AOB 2辺が半径の２つの三角形は中心角が小さいほうが底辺が短くなる よってCD＜ABとなり、OP⊥ABとなるときが最短になる。

arakan
質問者

お礼

　ありがとうございます

  • BLUEPIXY
  • ベストアンサー率50% (3003/5914)
回答No.4

線分ＡＢが最大になるのは、 線分ＡＢが直径と一致する時であって、 線分ＡＢが直径からずれるに従って 線分ＡＢは小さくなる。 このことは、線分ＡＢに対する角ＡＯＢがずれるに従って小さくなることから明らかである。 右回りに線分ＡＢをずらしていく場合と 左回りに線分ＡＢをずらしていく場合と対称であるから 線分ＡＢが最小になるのは、右回りと左回りの転回点（点Ｐを通る直径に線分ＡＢが直角に交わる時）で点ＰがＡＢの中点になる時である。

arakan
質問者

お礼

角が最小になる時・・・・なるほど。 　ありがとうございました。

  • leige
  • ベストアンサー率45% (11/24)
回答No.2

OPと垂直なPを通る線分CDを考えると △OAC∽△ODB よって OC:OB=OA:OD これより OB=(OC)＾2/OA 相加平均と相乗平均の関係より OA+OB=OA+(OC)＾2/OA≧2√(OA+(OC)＾2/OA)=2OC よってOA=OB=OCのとき最小になるとおもいます。

回答No.1

ごめんなさい． こちらの勘違いかもしれませんが，線分ABが最小になるような点Pの位置は点Pが限りなく円周の近くにあるときに実現しませんか？ 線分ABが円の中心を通る時，線分ABは最大になると思うのですが．

arakan
質問者

お礼

　えーと、点Ｐは任意です。

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