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方程式の変換
siegmundの回答
- siegmund
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siegmund です． この方程式の解は無数にあります． 解の分布は，(-π/2,π/2) の範囲に１個， この範囲をπだけ正負に次々シフトしていった領域に１個ずつです． この種の方程式の解の様子を調べるには，元の方程式を (1) tan αc (2 + cos^2 αc) = 3(αc + 0.12π) と変形して (2) f(x) = tan x (2 + cos^2 x) (3) g(x) = 3(x + 0.12π) のグラフを考えるのが常套手段です． y = f(x) と y = g(x) のグラフの交点が元の方程式の解を与えます． y = f(x) のグラフは，大体 y = tan x のグラフと似た形で， -π/2 と π/2 の様子が繰り返されます(三角関数の周期性)． 一方，y = g(x) のグラフは直線ですね． (1)の傾きやら曲率などをちょっと考えますと， 最初に書いた解の分布の結論を導くことができます． 一番わかりやすいのは，適当なソフトで(2)(3)のグラフを図示することです． ただし，tan x の存在のために，x = ±π2，±(3/2)π，(5/2)π±，... では f(x) の値が ±∞ になりますので，描画範囲にご注意下さい． ここで，図が示せないのが残念ですね． KOBAP さんは「土木の設計者です」ということでしたら， αc の範囲に -π < αc < π，あるいは 0 < αc < 2π，というような 制限があるのでしょうか？ αc = 0 付近の解を数値計算すると以下のようです． 単位はラジアンです． (-(5/2)π,-(3/2)π)の解 αc = -7.76361 (-(3/2)π,-(1/2)π)の解 αc = -4.55206 (-(1/2)π, (1/2)π)の解 αc = 1.11514 ( (1/2)π, (3/2)π)の解 αc = 4.57744 ( (3/2)π, (5/2)π)の解 αc = 7.77208 1.115 は既に guiter さんが示しておられます． αc = 0 から離れるにつれて，解は ±[(奇数)/2]π に近づきます． 7.77208 = 2.4739π で，もう(5/2)πにかなり近くなっています．
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