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点と直線 2
taropooの回答
1. x - 4y + 5 = 0 …(a) 2x + y + 1 = 0 …(b) (b)より y = -2x - 1 …(b)' (b)'を(a)に代入して x - 4(-2x - 1) + 5 = 0 x = 1 …(c) (c)を(b)'に代入して y = -2 - 1 = -3 よって交点は(1, -3)。 直線 3x - 2y + 5 = 0 をyについて解くと y = 3x/2 + 5/2 よってこれに垂直な直線は y = -2x/3 + a …(d) この直線が交点(1, -3)を通るためには、(d)に x = 1, y = -3 を代入して -3 = -2/3 + a a = -7/3 よって求める直線は(d)より y = -2x/3 - 7/3 または両辺を3倍して移項して 2x + 3y + 7 = 0 2. 一般に2直線 ax + by = e …(a) cx + dy = f …(b) があった時、この2直線が直交する条件を考えます。 (i)b≠0, d≠0のとき 2直線(a),(b)は次のように書きかえられます。 y = -ax/b + e/b …(a)' y = -cx/d + f/d …(b)' この2直線が直交するためには傾きの積が-1であれば良いので (-a/b)(-c/d) = -1 ac + bd = 0 …(c) これが(i)の場合の、2直線(a),(b)が直交する条件となります。 (ii)b=0のとき (a)より ax = e a=0だとe=0となって0=0となり直線で無くなるのでa≠0、よって x = e/a これはx=(一定)、すなわちy軸に平行な直線を表すので、 直線(a),(b)が直交するためには直線(b)がx軸に平行であれば良い。すなわち c = 0 となればよい。 b = c = 0 は(c)をみたすので、(i),(ii)の場合分けに関係無く、直線(a),(b)が直交する条件は ac + bd = 0 …(c) であることである。 これを使うと2直線 (a + 2)x + (a + 3)y = 10 6x + (2a - 1)y = 5 が直交するための条件は 6(a + 2) + (a + 3)(2a - 1) = 0 となる事である。これを解いて行くと 6(a + 2) + (a + 3)(2a - 1) = 2a^2 + 11a + 9 = (a + 1)(2a + 9) = 0 よって求めるaの条件は a = -1, -9/2 3. 2点(a, b), (c, d)を通る直線の式は (d - b)(x - a) = (c - a)(y - b) であらわされます。(実際に(x, y)に(a, b), (c, d)を代入すると成り立つ事が分かります。) よって2点(1, 0), (-1, 1)を通る直線の式は x - 1 = -2y x + 2y - 1 = 0 これが(a, -1)を通るためには x = a, y = -1 を代入して a + 2(-1) -1 = 0 これを整理して求めるaの値は a = -1 4. 直線 ax + by + c = 0 と点(x0, y0) との距離dは d = |ax0 + by0 + c| / √(a^2 + b^2) です(公式)。 それは置いておいてまず、直線 y = 2x あるいは書きなおすと 2x - y = 0 …(a) に垂直で点(2, 1)を通る直線を求めましょう。傾きが-1/2で点(2, 1)を通るので y - 1 = -(x - 2)/2 x + 2y - 4 = 0 … (b) こうすると、求める点は直線(b)上にあり、直線(a)との距離が点(2, 1)のそれと同じ点という事になります。 直線(a)と点(2, 1)との距離dは上の公式より d = |2*2 - 1*1| / √(2*2 + (-1)*(-1)) = 3 / √5 求める点の座標を(x0, y0)とするとこの点と直線(a)との距離は |2x0 - y0| / √(2*2 + (-1)*(-1)) = d = 3 / √5 |2x0 - y0| = 3 …(c) 点(x0, y0)は直線(b)上の点だから x0 + 2y0 - 4 = 0 …(d) 2x0 - y0 ≧ 0とすると (c)は 2x0 - y0 = 3 …(c)' これと式(d)との連立1次方程式を解くと、(x0, y0) = (2, 1)となり、これは求めるものではない。 よって2x0 - y0 < 0 このとき(c)は 2x0 - y0 = -3 …(c)'' これと(d)との連立1時方程式を解いて求める点は (-2/5, 11/5) 5. 前問の公式より | -10 | / √(3^2 + 4^2) = 10/5 = 2 よって求める距離は2 こんな感じで。 計算ミスあったらごめんなさい。
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